Auf Kreislinie zweiten Punkt bestimmen

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18.07.2014, 21:35	PShaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Kreislinie zweiten Punkt bestimmen Meine Frage: Hi, es mag daran liegen, dass ich übermüdet und scheinbar denkunfähig bin momentan, aber ich habe noch keine Möglichkeit gefunden mein Problem zu lösen, dabei müsste die Lösung ganz einfach sein, oder? Angenommen ich habe einen Punkt in einem 2-dimensionalen, kartesischen Koordinatensystem, z.B P(5\|2) und ich weiß, dass dieser Punkt auf einem Kreis mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt M(5,4)liegt, wie kann ich dann einen weiteren Punkt auf der Kreislinie berechnen, wenn der Winkel am Mittelpunkt z.B. 45° betragen soll? Theoretisch sind ja zwei Lösungen möglich, 45° nach links, oder 45° nacht rechts, ich suche aber den Punkt, der 45° nach Rechts verschoben ist. Meine Ideen: Ich weiß, dass ich alle Punkte in 45° Abständen berechnen kann, in dem ich die X Koordinate vom Mittelpunkt mit dem Radius * Sinus( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 45°) addiere und die Y Koordinate vom Mittelpunkt mit dem Radius Cosinus( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ *45°) addiere, die Ergebnisse sind dann zwar unter Anderem (5\|2), (7\|4) oder (3\|4) und die Lösung (6,414\|2,587) ist auch dabei, allerdings suche ich einen allgemeinen Lösungsweg, der für verschiedene Radien, Winkel und Startpunkte gilt. Versteht ihr was ich meine und könnt mir helfen? Oder sollte ich bis morgen warten und schlafen gehen? Danke im Voraus PShaw
18.07.2014, 21:54	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auf Kreislinie zweiten Punkt bestimmen Die wahrscheinlich bequemste Methode wäre wohl eine Drehung des Punktes P um den Mittelpunkt M, z. B. um 45° im Uhrzeigersinn. Funktioniert für alle Radien, Winkel und Startpunkte.
18.07.2014, 22:09	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auf Kreislinie zweiten Punkt bestimmen schiebe den Kreis in den Ursprung (und dann zurück). da siehst du den Weg
18.07.2014, 22:10	PShaw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auf Kreislinie zweiten Punkt bestimmen Das hört sich tatsächlich sinnig an, aber davon hab ich noch nie was gehört Kannst du mir ne Formel oder Ähnliches zum ausprobieren geben?
18.07.2014, 22:50	PShaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann leider nicht editieren, Aber: Ich glaub ich habs, wenn auch etwas umständlich: Für die X-Koordinate: Cosinus(45°) * (5 - 5) - Sinus(45°) * (2 -4) + 5 (Cosinus von 45 * (alte X-Koordinate - X- Koordinate vom Mittelpunkt usw.. und am Ende wieder + die x-Koordinate vom Mittelpunkt) und für Y: Sinus(45°) * (5 - 5) + Cosinus(45°) * (2 - 4) + 4 So komme ich jedenfalls auf das Ergebnis.. Ich habe irgendwo noch etwas von einer Rotationsmatrix gelesen, wäre die sinnvoller, bzw. gibt es einen anderen oder schnelleren Rechenweg? Vielleicht mit Vektoren oder Matrizen um X- und Y-Koordinate gleichzeitig zu berechnen oder so? Auf jeden Fall bis hierhin Danke!!!! an klauss und riwe!
18.07.2014, 22:52	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auf Kreislinie zweiten Punkt bestimmen Für die Drehung benötigen wir die Drehmatrix zum Winkel -45°. Die lautet $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(-45^{o}) & cos(45^{o}) \\ sin(-45^{o}) & sin(45^{o}) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da diese Matrix sich aber auf eine Drehung um den Ursprung bezieht, müssen wir den Punkt P erst so verschieben, dass er relativ zum Ursprung so liegt wie vorher zum Punkt M, also entgegen dem Ortsvektor von M. Wir erhalten $\begin{eqnarray} P'=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt drehen wir P' per Matrixprodukt um den Ursprung: $\begin{eqnarray} P''=\begin{pmatrix} cos(-45^{o}) & cos(45^{o}) \\ sin(-45^{o}) & sin(45^{o}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zum Schluß machen wir die Verschiebung vom Anfang rückgängig und erhalten als Ergebnis der Drehung von P um M: $\begin{eqnarray} P'''=\begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5-\sqrt{2} \\ 4-\sqrt{2} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 3,586 \\ 2,586 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ -> vgl. Bild Das sieht jetzt vielleicht doch nicht so bequem aus, ist es aber, weil man eigentlich nur die Einträge der Matrix richtig bestimmen muß. Die Verschiebung ist durch den Drehpunkt schon gegeben. Im wesentlichen Realschul-Abschlußprüfungsstoff.
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18.07.2014, 23:41	PShaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, Danke! Genau sowas hab ich gesucht, auch wenn ich dachte, dass es einen simpleren Lösungsweg gibt Die Verschiebung nach rechts ginge dann mit der Drehmarix für +45° also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(45^{o}) & - sin(45^{o}) \\ sin(45^{o} & cos(45^{o}) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , die Verschiebung bleibt gleich und die Drehung um den Ursprung ergibt : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ - \sqrt{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei der Verschiebung zurück kommt also raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \approx 6.414 \\ \approx 2.586 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich glaub ich habs verstanden, der Rechenweg ist ja fast der gleiche wie von mir vorher, nur mit Matrizen, also genau was ich brauche Danke dir!!
18.07.2014, 23:56	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix für +45° ist zunächst genau $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(45^{o}) & cos(135^{o}) \\ sin(45^{o}) & sin(135^{o}) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Läßt sich aber vereinfachen, so dass Du im Ergebnis recht hast. Hoffe, das ist klar geworden.
18.07.2014, 23:58	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich dachte, man soll um einen beliebigen Winkel drehen, aber wenn alle glücklich sind, bin ich es auch auch wenn das für beliebiges P auf K nicht stimmen mag.

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