affine abhängigkeit und dimension |
| 19.07.2014, 22:53 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| affine abhängigkeit und dimension ich habe hier zwei aufgaben zur affinen abhängigkeit. und in beiden aufgaben wird nach der dimension des raumes gefragt. und ich verstehs nicht. also erste aufgabe. Frage: was ist die dimension des affinen raumes von a0=(1,1,1) a1=(3,2,1) a2=(-1,0,1), (-3-1,1) nun haben wir die differenzen gebildet. a1-a0 =(2,1,0) a2-a0 =(-2,-1,0) a3-a0 =(-4,-2,0) nun wenn ich aus diesen drei vektoren eine matrix bilde dann sehe ich, dass ich unten eine nullzeile habe. d.h. dimension ist 1 , oder? die zweite aufgabe ist identisch Frage:welche dimension hat der zugehörige affine unterraum, der von den punkten a=(1,3,1) b=(1,-1,1) c=(1,5,1) d=(1,-3,1) aufgespannt wird. ich hoffe die frage verlangt das gleiche wie in der frage zuvor. wieder die differenzen bilden b-a =(0,-4,0) c-a =(0,2,0) d-a =(0,-6,0) so und wenn ich diese vekotren in eine matrix schreibe, habe ich zwei freie variablen. also ist die dimension 2. aber in der lösung steht 1. was mache ich nur falsch??? |
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| 20.07.2014, 13:04 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du verwechselst das Bild mit dem Kern. Die drei Vektoren sind linear abhängig und ihre lineare Hülle hat die Dimension 1, denn sie sind alle Vielfache voneinander. Wenn Du sie nun in eine Matrix schreibst und diese auf Zeilenstufenform bringst, siehst Du nur eine Zeile, die nicht komplett Null ist. Versuchst Du nun aber das GLS Ax=0 zu lösen, dann kommst Du auf die von Dir erwähnte Dimension zwei, allerdiings hat das nichts mit der Aufgabe zu tun. |
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| 21.07.2014, 22:51 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi bitte schreib genau worauf du dich beziehst. du beziehst dich wohl komplett auf die zweite aufgabe. schau mal hier ist die matrix 2 null zeilen, das bedeutet dimension 2. aber diese dimension ist wohl nicht gefragt. ich benötige die dimension des affinen unterraums oder? was muss ich hinschreiben um die dimension 1 zu sehen. die drei vektoren sind ja linear abhängig, heißt das doch dann auch dass sie affin abhängig sind oder? btw. die dimension des kerns ist das lgs in zeilenstufen from und dann die anzahl der variablen. die dimension vom bild ist der rang vom kern. kannst du mir beide aufgaben irgendwie illustrieren, damit ich das sehe. |
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| 22.07.2014, 00:32 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Liest Du bitte auch mal meinen Beitrag? Deine Matrix enthält genau eine Zeile ungleich Null, wieso sollte also der Raum die Dimension zwei haben? Eine Zeile ungleich Null bedeutet, dass sich alle Vektoren durch dies Zeile darstellen lassen, folglich ist die Dimension eins. Ein affiner Raum A lässt sich in die Form A=x+U bringen, wobei x ein Vektor aus A ist und U ein Unterraum. Dessen Dimension ist gleichzeitig die Dimension des affinen Raums. |
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| 22.07.2014, 00:37 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
klar lese ich deine beiträge.
weil sich alle drei durch EINEN darstellen lassen ist die dimension EINS? und da die drei vektoren linear abhängig sind, kann man daraus schließen dass sie auch affin abhängig sind oder? |
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| 22.07.2014, 01:36 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit Vektoren meinte ich die Differenzvektoren. Sie sind ausschlaggebend für die affine Abhängigkeit der Ausgangsvektoren. Morgen nachmittag bin ich wieder über PC online und kann dann ausführlicher erklären. |
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| 22.07.2014, 16:39 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich fasse noch einmal zusammen: Wenn Du n Punkte bis hast, die einen affinen Raum bilden, dann bestimmst Du die Differenzvektoren bis und schreibst sie in eine Matrix. Der Rang dieser Matrix ist dann die Dimension des affinen Raums (und gleichzeitig natürlich auch die des von den Differenzvektoren erzeugten Raums). |
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| 22.07.2014, 16:47 | akamanston | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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