LGS als affine Lösung darstellen

19.07.2014, 23:37

akamanston

LGS als affine Lösung darstellen

hi
nun gehts eifnach nur darum mir die richtigkeit der aufgabe zu bestätigen, ich zweifle nämlich etwas daran. aber es kann ja durchaus mehrere lösungen geben, hoffe ich.

ich soll das inh lgs

3x-2y+z=2
x+y-z=3

als affinkombination von affin unabhängigen vektoren beschreiben.

also lgs umformen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1&|2 \\ 1 &1 & -1&|3 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1&|2 \\ 0 &5 & -4&|7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine freie variable.
zuletzt erhalte ich dann die lösung : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix} +R\begin{pmatrix} 1 \\4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun muss ich das als affinkombination angeben.
deshalb wähle ich R=1 und R=0.
meine affinkombination wäre somit:
$\begin{eqnarray*} { \lambda \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 8 \\ 7 \\ 0\end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix}\frac{13}{5} \\\frac{27}{5} \\ 5 \end{pmatrix} |\lambda +\gamma =1} \end{eqnarray*}$

kann mir das jemand bestätigen?

20.07.2014, 09:45

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das passt soweit, allerdings sollst du die Lösungsmenge als L = .. schreiben und nicht einfach nur einen Term hinwerfen Augenzwinkern

Und du hast bei der Lösung des LGS "schönere" Zahlen mit

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + R \begin{pmatrix} 1 \\4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

20.07.2014, 10:23

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Das passt soweit, allerdings sollst du die Lösungsmenge als L = .. schreiben und nicht einfach nur einen Term hinwerfen Augenzwinkern

ja ist klar, ich würde es sogar als menge schreiben=)

Zitat:

Original von mYthos
Und du hast bei der Lösung des LGS "schönere" Zahlen mit

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + R \begin{pmatrix} 1 \\4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie kommst du denn auf diese zahlen??? ich habe es bei der (ersten) zahl bewusst mit bruch gelassen weil der punkt ja keine variable hat und somit auch verändert wird wenn man ihn mit irgendeinem faktor erweitert.

mit deinen schönen zahlen sieht die affinkombination dann auch schöner aus.
ist die affine kombination auch richtig?

20.07.2014, 12:00

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Zahlen kommst du, wenn du in der letzten verbleibenden Gleichung eine Variable nicht einfach R setzst, sondern etwas Phantasie walten lässt und beispielsweise schreibst

x3 = 2 + 5R

Mit der 5 wird bei x2 die Teilbarkeit durch 5 erhalten und die 2 ergibt mit 8 + 7 = 15, welches ebenfalls durch 5 teilbar ist.

Alternativ kann auch am Ende anstatt R ein entsprechender Term in R so gesetzt werden, dass ganze Zahlen entstehen (Näheres bei --> diophantische Gleichungen)

Ansonsten stimmt die Darstellung als LK (Linearkombination) der beiden l. u. Vektoren.

mY+

20.07.2014, 12:04

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

ok und die affine kombination wäre dann.

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix} 3 \\7 \\ 7 \end{pmatrix},\gamma + \lambda =1 \end{eqnarray*}$
ob die affine kombination stimmt, ist mir viel wichtiger.

bestimmt für R=0 und R=1

20.07.2014, 13:16

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Schrieb ich doch schon, das es so passt (gelesen?).
Dass/ob es stimmt, kannst du auch durch Stichproben herausfinden, setze für die Parameter

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (beliebig), $\begin{eqnarray*} \gamma = 1 - \lambda \end{eqnarray*}$

oder gleich allgemein

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + (1 - \lambda) \begin{pmatrix} 3 \\7 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dies muss mit der o.a. Lösungsmenge des LGS identisch sein ( $\begin{eqnarray*} - \lambda \end{eqnarray*}$ = R).

mY+

21.07.2014, 23:15

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

ich hab hier nochmal die gleiche aufgabe, nur im R4. falls du es lesen kannst , kannst du es auf richtigkeit prüfen?

nicht wundern.
es handelt sich um variablen x y z t
und ich habe freie variablen mü und lambda gewählt.

[attach]34940[/attach]

22.07.2014, 18:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Lösung stimmt noch.
Mit der Linearkombination kann ich mich nicht anfreunden, denn man bekommt mit ihr (und der Bedingung für a, b, c) zwar gültige Lösungen, aber bei Weitem nicht alle.

Dein Fehler ist darin zu orten, dass du die beiden Parameter R gleichsetzt, diese müssen aber R1, R2 sein.

Wenn du damit richtig weiterrechnest, ergibt sich eine unabhängige Basis

(2; 1; 0; 0)T , (3; -1; 0; 1)T und (0; 3; 1; 0)T

diese drei Vektoren haben nun die Multiplikatoren a, b, c mit a + b + c = 1.
Die Probe ergibt wieder die zuerst ausgerechnete Lösungsmenge ( $\begin{eqnarray*} \lambda = b, \ \nu = c \end{eqnarray*}$ )

mY+

25.07.2014, 21:08

akamanston

Auf diesen Beitrag antworten »

jaja, habs direkt verstanden also du es geschrieben hast. habs ausgebessert und jetzt sieht das echt stimmig aus. danke für die hilfe=)
war nur die letzten tage wegen klausuren mega im stress.

Neue Frage »

Antworten »

LGS als affine Lösung darstellen

Verwandte Themen