Eigenwerte verständnis

20.07.2014, 22:48

akamanston

Eigenwerte verständnis

hi,

schaut mal.

B ist eine reelle nxn matrix mit B^2=E.

wieso hat B immer die eigenwerte +1 oder -1.

ich versteh die lösung nicht. da steht E*v = E*v (das ähnelt Av=kv, k=eigenwert)
dann haben die das einfach umgeformt auf. 0=(E-E)*v =(B^2 -E)*v (einfach zufallsmäßig ein E durch B^2 ersetzen).

dann wurde das B durch ein lambda ersetzt(aus der luft gegriffen) und man hat die binomische formel mit eigenwerte +1 -1.
aber wie soll man denn auf sowa kommen. wenn ich mir die aufgabe morgen früh erneut anschaue dann werd ichs wieder nicht können Big Laugh

da haperts total am verständnis oder?
eigenwerte sind so mächtig, da kann man immer irgendwelche infos rausziehen

20.07.2014, 23:02

bijektion

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Ok, sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B\in M_{n\times n}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor zu $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda=-1 \end{eqnarray*}$ gilt.
Die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E_n\in M_{n\times n}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ hat den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fachen Eigenwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Also gilt $\begin{eqnarray*} E_n \cdot v=1 \cdot v \end{eqnarray*}$

Zitat:

dann haben die das einfach umgeformt auf. 0=(E-E)*v =(B^2 -E)*v (einfach zufallsmäßig ein E durch B^2 ersetzen).

Gut, $\begin{eqnarray*} E_n-E_n = 0 \in M_{n\times n}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ sollte klar sein, also gilt für alle $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (E_n-E_n)\cdot v=0 \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} B^2=E_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (E_n-E_n)\cdot v=(B^2-E_n)\cdot v=0 \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist, folgt $\begin{eqnarray*} B^2\cdot v = B\cdot\lambda\cdot v = \lambda^2\cdot v \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B^2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt haben wir $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ und dann wegen $\begin{eqnarray*} (B^2-E_n)\cdot v=(\lambda^2-1)\cdot v \end{eqnarray*}$ , kommst du auf das Ergebnis.

20.07.2014, 23:12

Nofekyx

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Wenn die Aufgabenstellung nicht vom TE falsch wiedergegeben wurde, dann ist die Aussage zusätzlich auch noch, dass so ein Eigenwert überhaupt erstmal existiert. Das hat man, weil man zunächst mal einen Eigenwert in C suchen kann. Später findet man dann ja raus, dass dieser reell sein muss.

20.07.2014, 23:18

akamanston

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Zitat:

Gut, $\begin{eqnarray*} E_n-E_n = 0 \in M_{n\times n}(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ sollte klar sein

nein eben nicht. die gleichheit ist mir schon klar^^ aber woher zieht man sich das. ich kann ja genauso schreiben 1-1=0 oder B-B=0.

Zitat:

also gilt für alle $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (E_n-E_n)\cdot v=0 \end{eqnarray*}$

gleiche frage, wieso *v. ich versteh nicht wie man auf so eine idee kommt.

der restliche rechenweg ist mir schon klar. einzig die stelle

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist, folgt $\begin{eqnarray*} B^2\cdot v = B\cdot\lambda\cdot v = \lambda^2\cdot v \end{eqnarray*}$

ist absolut unklar.

ich glaube ich bräuchte eine äquivalente aussage für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$
wäre dass dann $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ oder was^^

die zweite teilaufgabe ist auch wieder so ein ähnlicher krampf. und genausowas kommt hundert pro dran in den klausuren- ich sehs kommen.

und jetzt merke ich, dass ich

Zitat:

folgt $\begin{eqnarray*} B^2\cdot v = B\cdot\lambda\cdot v = \lambda^2\cdot v \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda^2 \end{eqnarray*}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B^2 \end{eqnarray*}$

auch nicht versteh. grundlage ist Av=kv. das ist klar. beides mal B(=A) dann B^2 v=kBv aber wtf =k^2 (k soll lambda sein)

zum heulen

20.07.2014, 23:41

Guppi12

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Naja, das ist ja letztendlich nur der Aufschrieb. Drauf kommen tut man doch, indem man sich tatsächlich erstmal einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hernimmt und sich dann mal die Gleichung (für einen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} B^2v = \lambda^2 v \end{eqnarray*}$ bzw. dann $\begin{eqnarray*} v = \lambda^2 v \end{eqnarray*}$ anschaut. Damit kommt man dann zu $\begin{eqnarray*} \lambda^2-1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Warum das bei dir so kryptisch aufgeschrieben ist, weiß ich auch nicht. Der Beweis läuft eigentlich ziemlich straight forward.

Zitat:

der restliche rechenweg ist mir schon klar. einzig die stelle

Zitat: Da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist, folgt $\begin{eqnarray*} B^2\cdot v = B\cdot\lambda\cdot v = \lambda^2\cdot v \end{eqnarray*}$

ist absolut unklar.

Wenn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt doch $\begin{eqnarray*} B^2 v = B\cdot (Bv) \overset{\text{Def. von Eigenwert}}{=} B \cdot (\lambda v ) = \lambda \cdot (Bv) \overset{\text{Def. von Eigenwert}}{=} \lambda \cdot \lambda v \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

wäre dass dann $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ oder was^^

Ähm, das eine ist ein Skalar, das andere eine Matrix.

Eine Sache muss ich aber mal betonen: JA, zur Mathematik gehört viel Kreativität. Mit Auswendiglernen ist es nicht getan, zumindest dann, wenn man selbst schaffend tätig werden möchte. Wer damit Probleme hat, für den ist Mathematik dann eben nicht das Richtige.

Das ist mag jetzt etwas schroff klingen, es ist aber nunmal die Wahrheit.

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