Eigenwert

21.07.2014, 01:37

akamanston

Eigenwert

hi=)

bei der aufgabe dachte ich eigentlich, dass sie richtig ist. aber irgendwie setze ich falsch ein.

für n>=1 sei V der vektorraum der polynome vom grad <=n mit reellenkoeffizienten. sei A:V auf V die lineare abbildung mit

$\begin{eqnarray*} (Af)(X)=f(X+1)-f''(X) \end{eqnarray*}$
zeige, dass 1 der einzie eigenwert von a ist.

$\begin{eqnarray*} 1 -> (1+1) -0 =2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x -> (x+1) -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 -> (x^2+1) -2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3 -> (x^3+1) -6x \end{eqnarray*}$

das scheint aber nicht ganz zu stimmen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1&1 \\ 0 & 1 & 0&-6 \\ 0 & 0& 1&0 \\0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(mir ist klar,dass das eine endliche matrix ist, aber ich weiß nicht wie das geht)

und naja man erkennt ja schon das bis auf den ersten 2er, die EW alle 1 sind. aber da kommt doch einfach 2 heraus.
in der lösung steht f(1)=1 aber f(1)=1+1. der rest würde stimmen, auch wenn in der lösung ziemlich andere zahlen stehen(bis auf die diagonalwerte natürlich)

21.07.2014, 06:58

Helferlein

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Du hast die Funkzion mit der Stelle verwechselt yn der sie ausgewertet wird. Für die konstante Funktion f (x)=1 ist f (x+1)=?
Zudem hast Du jeweils die erste Ableitung abgezogen,während in der Funktionsvorschrift von der zweiten die Rede ist.

21.07.2014, 10:38

akamanston

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Zitat:

Original von Helferlein
Du hast die Funkzion mit der Stelle verwechselt yn der sie ausgewertet wird. Für die konstante Funktion f (x)=1 ist f (x+1)=?
Zudem hast Du jeweils die erste Ableitung abgezogen,während in der Funktionsvorschrift von der zweiten die Rede ist.

also darf ich nicht einsetzen und das ergebnis (yn) verwenden.
ich habe immer die 2te ableitung benutzt, aber wohl vorher falsch eingesetzt? denn
f''(1)=1*0+0*0=0
f''(x+1)=1*1+0*1=1 und
f''(x^2 )=2

aber
Für die konstante Funktion f (x)=1 ist f (x+1)=?
versteh ich immer noch nicht

21.07.2014, 10:47

RavenOnJ

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!
hey,
es ist $\begin{eqnarray*} \text{mit }f(X):= aX^2+bX+c \end{eqnarray*}$ und eingesetzt $\begin{eqnarray*} x+1\Rightarrow f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+a+b+c \end{eqnarray*}$ . Für den Basisvektor $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ wird es natürlich einfacher. Analoges für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ .

21.07.2014, 10:50

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston

Für die konstante Funktion f (x)=1 ist f (x+1)=?
versteh ich immer noch nicht

Die Funktion ist konstant! Also?

21.07.2014, 10:51

akamanston

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!
also doch yn herauslesen nur mit der richtigen funktion Big Laugh

woher kommen denn die konstanten a b c...
kommt das von (Af)(x)=...

ähnlich wie bei linearen kombinationen R (x1) + R (x2) ... ?

Zitat:

Für die konstante Funktion f (x)=1 ist f (x+1)=?

f (x)=1 ist f (x+1)=1=f(x^2 +1)=1 ...?

21.07.2014, 10:52

RavenOnJ

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Zitat:

Original von akamanston

f''(x+1)=1*1+0*1=1

Außerdem steht nirgendwo, dass du f an der Stelle x+1 ableiten sollst.

21.07.2014, 10:54

RavenOnJ

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!

Zitat:

Original von akamanston
woher kommen denn die konstanten a b c...
kommt das von (Af)(x)=...

Die Konstanten a,b und c kommen von einem allgemeinen Ansatz für ein Polynom 2. Grades. Für den Basisvektor $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ fällt da natürlich was flach.

Edit: Du betrachtest wohlgemerkt den Vektorraum aller Polynome bis 3. Grad. Da sind dann natürlich auch ganz allgemeine Polynome 1., 2. und 3. Grades drin, nicht nur die einfachen Monome. Diese werden hier nur als Basisvektoren innerhalb des Vektorraums benutzt.

nochmal edit: Ich sehe gerade, dass es sogar um Polynome bis Grad n geht. Aber trotzdem ist es OK, erst mal nur den Vektorraum der Polynome bis Grad 3 zu betrachten und danach zu verallgemeinern.

21.07.2014, 11:05

RavenOnJ

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!
Eigentlich brauchst du nur die Stichworte "Dreicksmatrix" und "charakteristisches Polynom". Ohne langes Rumrechnen.

21.07.2014, 11:08

akamanston

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ich erkenne zwischen $\begin{eqnarray*} f(X):= aX^2+bX+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Af)(X)=f(X+1)-f''(X) \end{eqnarray*}$ keine gemeinsamkeiten. wo fällt das $\begin{eqnarray*} (Af)(X)=f(X+1)... \end{eqnarray*}$ hin?

21.07.2014, 11:12

klarsoweit

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!
Dazu hatte dir schon RavenOnJ mal was geschrieben:

Zitat:

Original von RavenOnJ
hey,
es ist $\begin{eqnarray*} \text{mit }f(X):= aX^2+bX+c \end{eqnarray*}$ und eingesetzt $\begin{eqnarray*} x+1\Rightarrow f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+(2a+b)x+a+b+c \end{eqnarray*}$ . Für den Basisvektor $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ wird es natürlich einfacher. Analoges für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X^3 \end{eqnarray*}$ .

Aber warum nimmst du überhaupt $\begin{eqnarray*} f(X):= aX^2+bX+c \end{eqnarray*}$ und nicht die Basisvektoren?

21.07.2014, 11:16

akamanston

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!
mir geht das alles viel zu schnell.

ich möchte die form haben

$\begin{eqnarray*} 1 --> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x --> ax^2+bx+c - (ax^2+bx+c)'' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 --> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^3 --> \end{eqnarray*}$

ist das so richtig? ich bin jetzt noch verwirrter als vorher

21.07.2014, 11:30

klarsoweit

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!

Zitat:

Original von akamanston
$\begin{eqnarray*} x --> ax^2+bx+c - (ax^2+bx+c)'' \end{eqnarray*}$

Da bist du einen Schritt zu schnell. Auf was denn wird das Polymon f(x)=x durch die Abbildung A abgebildet?

21.07.2014, 11:42

Huggy

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!
Alternativer Ansatz:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(X+1)-f''(X)=\lambda f(X) \end{eqnarray*}$

Das leiten wir n mal ab:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(X+1)-f^{(n+2)}(X)=\lambda f^{(n)}(X) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{(n+2)}(X)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(X) \end{eqnarray*}$ ein konstantes Polynom. Es genügt also, das konstante Polynom zu betrachten.

Und schon bin ich wieder raus.

21.07.2014, 14:00

RavenOnJ

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RE: Eigenwert. Finde den Fehler!

Zitat:

Original von klarsoweit

Aber warum nimmst du überhaupt $\begin{eqnarray*} f(X):= aX^2+bX+c \end{eqnarray*}$ und nicht die Basisvektoren?

Vom Allgemeinen zum Speziellen. Ist aber hier eigentlich unnötig, da man die Aufgabe auf andere Weise viel einfacher lösen kann.

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