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21.07.2014, 12:54

akamanston

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Rang

Edit (mY+): Thema gekürzt, Denkaufgabe ist das keine.

hi
ein charakteristisches polynom einer 3x3 matrix hat die eigenwerte $\begin{eqnarray*} EW: 0; 1; -1 \end{eqnarray*}$ . also ist sie diagonalisierbar.

nun soll ich den rang von $\begin{eqnarray*} A;A^2;A^2+1; A^2-1 \end{eqnarray*}$ angeben.

bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , scheint mir das hoffentlich klar zu sein, denn jeder der eigenräume hat dimension 1 und somit ist der rang 2.

bei $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ hab ich mal A (mit einer nullzeile) multipliziert. da kommt auch wieder eine matrix mit einer nullzeile heraus. also wieder rang 2. hab ich das richtig gemacht?

durch das summieren/subrahieren der einheitsmatrix wird die matrix somit voll ranging.

wie berechnet ich $\begin{eqnarray*} A^{1994}=A^2 \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} A^{2*997} \end{eqnarray*}$ bringt mich nicht weiter oder

21.07.2014, 14:46

bijektion

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Zitat:

bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , scheint mir das hoffentlich klar zu sein, denn jeder der eigenräume hat dimension 1 und somit ist der rang 2.

Warum so kompliziert? Die Matrix ist ähnlich zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , da sieht man doch schon alles.

Zitat:

bei $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ hab ich mal A (mit einer nullzeile) multipliziert.

Was heißt das mit einer Nullzeile multipliziert?

Zitat:

durch das summieren/subrahieren der einheitsmatrix wird die matrix somit voll ranging.

Das ist falsch, außerdem heißt es bekommt vollen Rang. Es könnte doch sogar $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gelten, welchen Rang hat dann $\begin{eqnarray*} A^2\pm E_3 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

wie berechnet ich $\begin{eqnarray*} A^{1994}=A^2 \end{eqnarray*}$ ?

Was soll das bringen? Vielleicht kann hier der Satz von Cayley-Hamilton behilflich sein.

21.07.2014, 15:11

akamanston

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Zitat:

Original von bijektion
Warum so kompliziert? Die Matrix ist ähnlich zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , da sieht man doch schon alles.

naja so kompliziert ist das nun auch wieder nicht. haha das ich sowas mal sagen werde.

Zitat:

Was heißt das mit einer Nullzeile multipliziert?

damit meinte ich zB eine matrix der form wie du sie geschrieben hast.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ "mit einer nullzeile"
dann erhält man wieder eine matrix mit einer nullzeile und somit ist der rang wieder 2.

Zitat:

Das ist falsch, außerdem heißt es bekommt vollen Rang. Es könnte doch sogar $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gelten, welchen Rang hat dann $\begin{eqnarray*} A^2\pm E_3 \end{eqnarray*}$ ?

tja, das hab ich wohl unterschlagen. die matrix kontert bei diesem fall aus.
bei +E hätte die matrix vollen rang und bei -E Rang2.
das muss man nun allgemein zeigen oder?

Zitat:

Was soll das bringen? Vielleicht kann hier der Satz von Cayley-Hamilton behilflich sein.

das ist ein gutes stichwort.
$\begin{eqnarray*} A^2(A^{1993}-1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^2(A^{1994}-1)= A^2(A^{2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot83}-1)=0 \end{eqnarray*}$
HAHA

21.07.2014, 15:35

bijektion

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Du solltest beachten, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{rk}(A\cdot B)\leq \min (\mathrm{rk}(A),\mathrm{rk}(B)) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

damit meinte ich zB eine matrix der form wie du sie geschrieben hast. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ "mit einer nullzeile" dann erhält man wieder eine matrix mit einer nullzeile und somit ist der rang wieder 2.

Hier würde ich mal ansetzen, indem du nutzt, dass es $\begin{eqnarray*} P\in GL_3(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} A=P^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \cdot P \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

das ist ein gutes stichwort. $\begin{eqnarray*} A^2(A^{1993}-1=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A^2(A^{1994}-1)= A^2(A^{2\cdot2\cdot3\cdot2\cdot83}-1)=0 \end{eqnarray*}$ HAHA

Verstehe ich nicht.

21.07.2014, 16:01

Louis1991

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Entschuldige, dass ich mich einmische, aber der Tipp zu $\begin{eqnarray*} A^{1994}=A^2 \end{eqnarray*}$ sollte meiner Meinung nach nicht Cayley-Hamilton sein. Das ist vielmehr ein klassischer Aufgabentyp, den man normalerweise wie folgt löst:

schreibe $\begin{eqnarray*} A= S^{-1}\operatorname{diag}(0,-1,1)S \end{eqnarray*}$ und multipliziere aus, voila (hier sogar besonders einfach)

Grüße

21.07.2014, 16:05

bijektion

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@Louis1991: Kein Problem, mir war noch gar nicht klar, was hier gezeigt werden sollte, von daher vielen Dank für den Hinweis Wink

Wink

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21.07.2014, 16:08

akamanston

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das sollte so aussehen.
$\begin{eqnarray*} A^2(A^{1994}-1)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{rk}(A\cdot B)\leq \min (\mathrm{rk}(A),\mathrm{rk}(B)) \end{eqnarray*}$

das habe ich in wiki auch gefunden. aber was bedeutet denn das min^^ da gehts schon los
bedeutet das sozusagen sowas wie rang (A*B) ist kleinergleich als rangA oder rangB

schlimm ist, ich wäre wohl auch einfach nicht auf die matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gekommen. somit hätte ich eh keine chance bei der aufgabe gehabt.

edit: omg na klar wäre ich auf die diagonalmatrix gekommen, das ch. polynom ist ja gegeben. ja sry ich mach so viel auf einmal. das ist mega ineffizienteste multitasking ever

21.07.2014, 16:12

bijektion

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Zitat:

bedeutet das sozusagen sowas wie rang (A*B) ist kleinergleich als rangA oder rangB

Für $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \min (x,y) = \frac{x+y-|x-y|}{2} \end{eqnarray*}$ .

21.07.2014, 16:53

akamanston

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Zitat:

Original von Louis1991
schreibe $\begin{eqnarray*} A= S^{-1}\operatorname{diag}(0,-1,1)S \end{eqnarray*}$ und multipliziere aus, voila (hier sogar besonders einfach)

was ist denn S? eifnach eine allgemeine Matrix? wenn ich eien allgemeine 3x3 matrix wähle und mit A multipliziere erhalte ich eine matrix mit det=0 , also eine nicht invertierbare. ist dann A=0 ?

21.07.2014, 17:20

bijektion

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Zitat:

wenn ich eien allgemeine 3x3 matrix wähle und mit A multipliziere erhalte ich eine matrix mit det=0 , also eine nicht invertierbare. ist dann A=0 ?

Es ist $\begin{eqnarray*} S\in GL_3(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , die die ich weiter oben mal $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ genannt habe. Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} \det A=0 \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

21.07.2014, 18:32

akamanston

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jaaaa ich weiß schon das du die genannt hast. aber ich kann doch mit "P=S" nicht rechnen.
ist dann
$\begin{eqnarray*} P=S=\begin{pmatrix} a & b &c \\ d & e & f \\ g& h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} \det A=0 \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ ?

ich habe nur still und leise gefragt=)
ich habe nämlich zuerst $\begin{eqnarray*} A= \operatorname{diag}(0,-1,1)S \end{eqnarray*}$ gerechnet. und hier kommt eine matrix heraus die determinante null hat. man kann sie nicht invertieren. ich bekomme keine $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ deshalb dachte ich, dass A=0 sein könnte=(

21.07.2014, 19:21

bijektion

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$\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert doch auf jeden Fall, da $\begin{eqnarray*} S\in GL_3(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ .

21.07.2014, 19:23

akamanston

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ja ich weiß es dann nicht, völlig sprachlos

wie siehts mit dem ansatz aus.

$\begin{eqnarray*} A= S^{-1}\operatorname{diag}(0,-1,1)S \end{eqnarray*}$
dann
$\begin{eqnarray*} A^2= (S^{-1}(\operatorname{diag}(0,-1,1))S)^2 \end{eqnarray*}$

21.07.2014, 19:48

bijektion

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Zitat:

wie siehts mit dem ansatz aus. $\begin{eqnarray*} A= S^{-1}\operatorname{diag}(0,-1,1)S \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} A^2= (S^{-1}(\operatorname{diag}(0,-1,1))S)^2 \end{eqnarray*}$

Also los!

21.07.2014, 19:56

akamanston

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$\begin{eqnarray*} A^2= (S^2(\operatorname{diag}(0,-1,1))^2S^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^2= S^2 \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix} S^2 \end{eqnarray*}$

21.07.2014, 20:08

bijektion

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Die Multiplikation ist nicht kommutativ, also $\begin{eqnarray*} A^2= (S^{-1}\cdot\operatorname{diag}(0,-1,1)\cdot S)^2=S^{-1}\cdot\operatorname{diag}(0,-1,1)\cdot S \cdot S^{-1}\cdot\operatorname{diag}(0,-1,1)\cdot S = S^{-1}\cdot \operatorname{diag}(0,-1,1)^2\cdot S = S^{-1} \cdot \operatorname{diag}(0,1,1) \cdot S \end{eqnarray*}$ .

21.07.2014, 20:20

akamanston

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phu, genial

also ist auch

$\begin{eqnarray*} A^{1994}= C^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot C \end{eqnarray*}$

weil sich die mitte immer wieder rauskürzt

21.07.2014, 20:41

bijektion

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Da $\begin{eqnarray*} 1994 \equiv 0 \mod 2 \end{eqnarray*}$ , ja.

21.07.2014, 20:43

akamanston

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willst du mich mit dem modulo jetzt total bashen^^
wieso spielt hier jetzt auf einmal modulo eine rolle?

21.07.2014, 20:45

bijektion

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Dann halt weil 1994 eine gerade Zahl ist.

21.07.2014, 21:38

akamanston

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ps.

was ist denn nun eigentlich der rang von A^2 +-1 ?
A und A^2 waren rang2 oder?

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