Eigenvektoren von Matrix berechnen

21.07.2014, 18:06

brushmate

Eigenvektoren von Matrix berechnen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 5 & 5 \\ -5 & -7 & -5 \\ 5 & 5 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Folgende Eigenwerte habe ich ausgerechnet: $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = -2 \wedge \lambda_3 = 3 \end{eqnarray*}$

Nun sollen für diese Eigenwerte die Eigenvektoren bestimmt werden. Wie das funktioniert, verstehe ich auch im Prinzip. Ich habe eine Lösung zu der Aufgabe, bei der ich die letzten Schritte nicht verstehe. Es wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.

Meine Ideen:
Ich weiß, das der Eigenvektor mit folgender Gleichung berechnet werden kann: $\begin{eqnarray*} \left(A - \lambda E\right) \cdot \vec{x} = \vec{o} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet in meinem Fall

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & 5 & 5 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \vec{o} \end{eqnarray*}$

Durch Umformen komme ich dann auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \vec{o} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5x_1 + 5x_2 + 5x_3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In meiner Lösung steht jetzt folgendes:

Seien $\begin{eqnarray*} x_2 = s, x_3 = t \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} x_1 = -x_2 - x_3 = -s - t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -s - t \\ s \\ t \end{pmatrix} = s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{u_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{u_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Leider gibt es dazu keine Erklärung mehr und ich weiß nicht, wie ich von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5x_1 + 5x_2 + 5x_3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf die beiden Vektoren komme.

21.07.2014, 18:13

klarsoweit

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RE: Eigenvektoren von Matrix berechnen
Eine der großen Voraussetzungen für die Bestimmung von Eigenvektoren ist die Kenntnis des Gauß-Verfahrens und wie man damit den Kern eines LGS bestimmt.

Man bestimme die frei wählbaren Variablen, welche in diesem Fall x_2 und x_3 sind. Wähle dann x_2 = 1 und x_3 = 0 und bestimme x_1. Dann das ganze mit x_2 = 0 und x_3 = 1. smile

21.07.2014, 18:39

brushmate

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Und die sind frei wählbar, da die Richtung des Vektors durch die Nullen eh nicht geändert werden würde? Und wie kommt man auf die -1 für x_1?

22.07.2014, 08:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von brushmate
Und die sind frei wählbar, da die Richtung des Vektors durch die Nullen eh nicht geändert werden würde?

Die sind frei wählbar wegen dieser Regel:

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:
Die nicht frei wählbaren Variablen sind genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zitat:

Original von brushmate
Und wie kommt man auf die -1 für x_1?

Nun ja, löse mal $\begin{eqnarray*} 5x_1 + 5x_2 + 5x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn du x_2 = 1 und x_3 = 0 setzt. Augenzwinkern

22.07.2014, 15:58

brushmate

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Vielen Dank! Jetzt hab' ich's.

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