bc >0 reelle 2x2 Matrix - eigenwerte

21.07.2014, 19:40

akamanston

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bc >0 reelle 2x2 Matrix - eigenwerte

das ist was kurzes

sei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ reelle matrix mit b>0 und c>0.
zeige a hat zwei reelle eigenwerte.

geht das über die determinante?

det(A)= ad -bc. anfangs dachte ich, dass die determinante somit immer negativ sein wird, ad kann ja alles sein.

21.07.2014, 19:42

Gast11022013

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Wie berechnet man denn Eigenwerte?

21.07.2014, 19:43

akamanston

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mit dem charakteristisches polynom

21.07.2014, 19:45

Gast11022013

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Und wie bestimmst du das charakteristische Polynom.

21.07.2014, 19:46

akamanston

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^^,

ja mit der det(A-E*lambda)=
$\begin{eqnarray*} -\lambda ^2-(a+d)\lambda +ad-bc \end{eqnarray*}$

21.07.2014, 19:49

Gast11022013

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Und wie kriegst du jetzt die Eigenwerte?

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21.07.2014, 19:52

akamanston

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nullstellen suchen.
in dem fall müsste ich wohl pq formel anwenden.

auf die schnelle habe ich
$\begin{eqnarray*} \frac{(a+b)^2 \pm \sqrt{(a+b)^2+4(ad-bc)} }{2} \end{eqnarray*}$

21.07.2014, 19:57

Gast11022013

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Und wann bringt diese Formel nun zwei Lösungen, also zwei Eigenwerte?

Edit:

Sollte es nicht (a+d) anstatt von (a+b) sein?

21.07.2014, 20:01

akamanston

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wenn
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2+4(ad-bc) > 0 \end{eqnarray*}$
ja a+d!

aber das hat doch bisher noch nichts mit der einschränkung b>0 c>0.

21.07.2014, 20:06

Gast11022013

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Ich rechne normalerweise mit der pq-Formel. Unter deiner Formel versteht man glaube ich eher die "Mitternachtsformel". Habe die Formel gerade nachgeguckt, du hast einen Vorzeichenfehler drin. Unter der Wurzel muss es

(a+d)^2-4(ad-cb) heißen, also

(a+d)^2-4(ad-cb)>0

Naja, jetzt rechne doch erstmal weiter. Dann wirst du schon sehen wann wir b>0 und c>0 brauchen.

21.07.2014, 20:27

akamanston

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das ist doch beides die gleiche formel, ich kenne keine andere.

meine determinanet sollte aber richtig sein, ich habe ganz am anfang einen fehler.

$\begin{eqnarray*} -\frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2+4(ad-bc)} }{2} \end{eqnarray*}$

das das wird zu blus weil vor dem (a+d) ein minus steht.

21.07.2014, 20:39

Gast11022013

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Unter der pq-Formel versteht man eher das hier:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Und unter der Mitternachtsformel:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Natürlich ist das beides die selbe Formel. Die Mitternachtsformel kann man nur halt bereits anwenden wenn man nicht vorher die Normalform erzeugt hat. Also für Gleichungen der Form

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray*}$

während für die pq-Formel die Form

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ benötigt wird.

Und nein, das Pluszeichen unter der Wurzel ist trotzdem falsch.
Und nein, vor dem Bruch gehört kein Minuszeichen.

21.07.2014, 20:52

akamanston

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Zitat:

Und nein, vor dem Bruch gehört kein Minuszeichen.

ok damit bin ich einverstanden, das ist wirklich ein plus.
aber

Zitat:

Und nein, das Pluszeichen unter der Wurzel ist trotzdem falsch.

aber das muss ein puls sein.

die formel sagt, dass b^2 - 4ac

und das polynom ist -x^2 -(a+d)x +(ad-bc)

a=-1 und dann hebt es sich mit dem minus aus der pqformel auf.

21.07.2014, 20:58

Gast11022013

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Zitat:

Original von akamanston
ja mit der det(A-E*lambda)=
$\begin{eqnarray*} -\lambda ^2-(a+d)\lambda +ad-bc \end{eqnarray*}$

Der Vorzeichenfehler ist mir bisher entgangen.
Für dich ist also

$\begin{eqnarray*} (-\lambda)\cdot (-\lambda)=-\lambda^2 \end{eqnarray*}$

?

21.07.2014, 21:03

akamanston

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Zitat:

Original von Gmasterflash

Für dich ist also
$\begin{eqnarray*} (-\lambda)\cdot (-\lambda)=-\lambda^2 \end{eqnarray*}$ ?

neeeein. natürlich nicht=)

wenn ich a=1 und d=1 wähle. und bc=0 dann erhalte ich nach meiner formel x=1. und das stimmt überein mit
und bei deiner formel kommt was anderes heraus, obwohl wir das gleiche polynom haben

21.07.2014, 21:12

Gast11022013

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Das liegt daran, dass du eine der beiden Formeln falsch anwendest, wahrscheinlich die Mitternachtsformel, weil die einfach unnötig "kompliziert" ist.

Für Ausdrücke der Form

$\begin{eqnarray*} -x^2-2x-1=0 \end{eqnarray*}$

gäbe es auch die binomische Formel...

Google die Formel doch einfach selber, wenn du mir nicht vertraust.

21.07.2014, 21:34

akamanston

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ja das war jetzt unnötig kompliziert, ist mir in der ganzen hektik um die mitternachtsformel gar nicht aufgefallen.

dann mach ich mal hier weiter
$\begin{eqnarray*} (a+d)^2-4(ad-cb)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2+6ad+b^2>4bc \end{eqnarray*}$

und nun? b>0 c>0

21.07.2014, 21:44

Gast11022013

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Woher kommt jetzt wieder das $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ ?

Außerdem wenn du $\begin{eqnarray*} -4\cdot (-cb) \end{eqnarray*}$ rechnest und es dann auf die andere Seite bringst, dann müsste dort

$\begin{eqnarray*} ...>-bc \end{eqnarray*}$

stehen.

Behalte jedoch die Ungleichung

...>0 bei.

Du hast dich wieder verrechnet.

21.07.2014, 21:46

akamanston

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$\begin{eqnarray*} a^2+6ad+d^2+4bc>0 \end{eqnarray*}$

so rum natürlich.

21.07.2014, 23:15

Gast11022013

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Du machst unglaublich viele Vorzeichenfehler.
Rechne noch einmal nach. Es geht um die +6ad, die sind falsch.

21.07.2014, 23:18

akamanston

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ja die mache ich nur weil ich deine - und mein + vermischt habe. dann noch die ganze kopiererei von dem latex zeug und die verwirrung ist perfekt.

$\begin{eqnarray*} a^2-2ad+d^2+4bc>0 \end{eqnarray*}$

21.07.2014, 23:22

Gast11022013

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Und das kommt davon, weil du nichts auf einem Blatt Papier notierst und nur im Textfeld rechnest.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{a^2-2ad+d^2}_{\text{who are you supposed to be?}}+4bc>0 \end{eqnarray*}$

21.07.2014, 23:25

akamanston

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$\begin{eqnarray*} (a-d)^2+4bc>0 \end{eqnarray*}$

21.07.2014, 23:27

Gast11022013

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Und warum gilt diese Ungleichung nun?

21.07.2014, 23:29

akamanston

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ahja, ok jetzt schließt sich der kreis.

das quadrat ist immer positiv und das 4bc ist auch immer positiv weil b>0 und c>0.
interessant.
damit gibtes immer zwei nullstellen. also zwei eigenwerte.
die eigenwerte sind sogar die gleichen nur mit anderem vorzeichen oder?

21.07.2014, 23:32

Gast11022013

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Zitat:

das quadrat ist immer positiv

Besser: Das Quadrat ist immer nicht negativ. Denn das Quadrat kann ja auch Null sein, und Null wird nicht als positiv angesehen.

Die Argumentation stimmt ansonsten natürlich.

Zitat:

die eigenwerte sind sogar die gleichen nur mit anderem vorzeichen oder?

Nein. Warum sollte das gelten?
Du kannst ja einfach mal beliebige Werte für b und c einsetzen und dich von dem Gegenteil überzeugen.

21.07.2014, 23:36

akamanston

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ja ok, danke für deine geduld. aber egal wieviel zeiit du mit mir verschwendet hast, du kannst dir sicher sein, dass du mich ein stück glücklicher gemacht hast=)
wenn doch nur jede auseinandersetzung mit nem problem so gut enden könnte=(
gute nacht

21.07.2014, 23:48

Gast11022013

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Besser hätte ich es gefunden wenn ich dich ein Stück klüger gemacht hätte.
Was ist schon Glück...

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