Skalarprodukt von Differentialformen |
21.07.2014, 23:34 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Skalarprodukt von Differentialformen dann die Determinante von ? Also so . Wie schreibe ich jetzt die Determinante aus? Mit dem Dachprodukt?? |
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22.07.2014, 07:09 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Heinz, wo kommt diese Aufgabe denn her? Ich kenne eigentlich nur das Tensor- und Dachprodukt von Differentialformen. Beim Dachprodukt gilt: Die Determinante könnte also gleich Null sein, falls man dort als Multiplikationsvorschrift das Dachprodukt voraussetzt. |
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22.07.2014, 13:25 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Telefonmann1. Ich brauch das um den Hodge Stern Operator zu berechnen. Die berechnung vom Skalarprodukt sieht eigentlich so aus Leider weiß ich jetzt nicht warum z.B. hier 1 ist, müsste das nicht 0 sein ? Gruß |
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22.07.2014, 14:04 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde den Hodge-Stern-Operator so berechnen: http://de.wikipedia.org/wiki/Hodge-Stern-Operator Das Beispiel dort verwendet sogar Differentialformen. |
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22.07.2014, 16:51 | HeinzImUnglpck | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja aber das brauch ich ja grade um den so zu berechnen. |
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22.07.2014, 16:58 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du brauchst hier weder Determinanten, noch Skalarprodukte, sondern lediglich das Dachprodukt. Anders ausgedrückt: Auf was willst Du eigentlich den HS-Operator anwenden? |
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22.07.2014, 20:53 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich brauche das Skalarprodukt von Differentialformen und das berechnet man so: , frag mich nicht warum. Der Hodge Operator ist definiert als , wobei die Gleichung erfüllt. Nur leider weiß ich nicht wie die Determinante ausgerechnet wurde. |
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22.07.2014, 21:43 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Heinz, die Aufgabe ist unvollständig formuliert, weil nicht angegeben wird, welche Metrik verwendet werden soll. Da die Mannigfaltigkeit aber offensichtlich der R^2 ist, nehme ich mal an, dass die Metrik gleich der euklidischen Metrik ist und da vereinfacht sich der ganze Formalismus auf den Hodge-Operator auf einem Vektorraum, so wie er in der Wikipedia dargestellt wird. Im Übrigen steht für eine Volumenform und die ist per Definition eine multilineare Abbildung auf dem Tangentialraum der betrachteten Mannigfaltigkeit. Mit diesem Hinweis weiß man dann schon mal, dass der Hodge-Operator in dem gewünschten Fall aus einer 1-Form wieder eine 1-Form macht. Aufgrund der Linearität des Hodge-Operators kann man sich auf die Basiselemente der 1-Formen beschränken und es gilt: Wendet man bei dieser Gleichung auf beiden Seiten den Hodge-Operator erneut an, bekommt man die zweite benötigte Gleichung. |
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22.07.2014, 22:29 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, jau, tut mir leid, ja genau das war gemeint. Ich hätte den Hodge Operator nicht erwähnen sollen, weil es mir darum eigentlich nicht geht. Ich will einfach nur das Skalarprodukt zwischen Differentialformen ausrechnen und wissen warum die Determinante 1 ist. Weil wenn ich das mal in nicht orthonormalen Koordinaten ausrechnen will bin ich am Arsch. Wieso ist oder ? Was bedeutet das überhaupt? Etwa und ? Kann ja nicht sein, weil das eine dann ja null wäre. |
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22.07.2014, 23:48 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe in dem Buch von M. Schottenloher, "Geometrie und Symmetrie in der Physik" die Definition des Skalarproduktes gefunden, will es aber nicht 1:1 abtippen. Man kann dieses Skalarprodukt sinngemäß über die Koordinatendarstellungen der Differentialformen ausrechnen. Bei ist das in Vektorschreibweise der Vektor (1,0) und bei (0,1). Mit diesen Vektoren kann man dann das Skalarprdoukt über die Metrik bis auf einen Vorfaktor berechnen, der für 1-Formen aber gleich eins ist. |
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23.07.2014, 02:12 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lieber Telefonnmann1, kannst du das bitte noch etwas expliziter erklären? (mit Formeln vielleicht.) Gruss |
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23.07.2014, 02:56 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das dürfte dann auch wirklich das aller letzte Puzzelstück gewesen sein, damit ich verstanden habe wie man damit korrekt etwas berechnet. |
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23.07.2014, 07:18 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Guten Morgen! Die Standardvolumenform lautet im R^2: . Die von Dir angeschriebene Definitionsgleichung kann man damit zu mit i,j = 1,2 übersetzen. Das Kroneckerdelta ergibt sich dabei, wie gesagt, aus dem Skalarprodukt der Koordinatendarstellungen der dx^i, das mit der Metrik (hier die euklidische Metrik) gebildet wird. In beliebigen Koordinaten und einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit muss man (wenn ich den Text bei M. Schottenloher richtig verstanden habe) für die Volumenform immer verwenden . |
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23.07.2014, 21:52 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moin, Ja ich weiß das ist. Man soll eine Matrix definieren mit ? |
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23.07.2014, 21:54 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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23.07.2014, 22:33 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Heinz, kennst Du nicht den metrischen Tensor? Das ist die inverse Matrix zur Koordinatendarstellung mit kovarianten Indizes. Es gilt also mit der einsteinschen Summenkonvention . Der Hodge-Operator wird übrigens normalerweise innerhalb einer Vorlesung über riemannsche Geometrie behandelt. Dort lernt man auch den verwendeten Formalismus über Tensorfelder und Differentialformen. Ohne diese Kenntnisse kannst Du den Hodge-Operator vermutlich nur innerhalb der linearen Algebra anwenden. |
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23.07.2014, 23:44 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, aber in Verbindung mit dem wedge produkt und differentialformen kommt mir das komisch vor. Mir ist klar das der metrische Tensor in orthonormalen Koordinaten verschwindet. Berechnen wir mal den Hodge Operator von Hier Die Lösung ist ist. Ich würde aber jetzt gerne explizit berechnen. Man definiert den metrischen Tensor Was ja nicht sein kann, da es 0 ist. |
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24.07.2014, 06:48 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
leer. |
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24.07.2014, 14:22 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Scheinbar geht es wie folgt: Man nutzt zuerst die Linearität des Skalarproduktes aus: Die einzelnen Skalarprodukte löst man dann über: sowie Damit bekomme ich das korrekte Ergebnis 13. |
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24.07.2014, 14:58 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, Danke, aber Was ist ? |
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24.07.2014, 15:38 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das steht im Prinzip schon da. Im R^n kann man mit der euklidischen Metrik auch schreiben: (=Kronecker-Delta), und i,j = 1,...,n z.B. usw. |
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24.07.2014, 19:44 | HeinzImUnglück | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, ja also mir war klar das ist. Aber wie das im Skalarprodukt zustande kommt war mir ein Rätsel, naja ich werd noch mal ein paar Bücher dazu lesen, dann wirds mir bestimmt klar. Vielen Danke für dein Hilfe LG |
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24.07.2014, 20:40 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist genaugenommen eine ungünstige Schreibweise, weil die Diff.form dx^i auf dem Kotangentialbündel "lebt". Die partielle Ableitung ist dagegen ein Element des Tangentialbündels. Man sollte also besser schreiben, auch wenn es ungewohnt aussieht.
War für mich auch interessant zu sehen, dass man den Hodge-Operator mit den passenden Formeln eigentlich relativ leicht und direkt ausrechnen kann. Bei diesem Seminarskript der Uni-Dortmund ist auf S. 5 sogar eine direkte Formel angegeben. Im Skript wird darüberhinaus der Hodge-Operator auf komplexen Mannigfaltigkeiten beschrieben . |
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