Transformationsmatrix /= Inverse Matrix

23.07.2014, 11:40

Tergo7

Transformationsmatrix /= Inverse Matrix

Hallo Freunde von matheboard.de,

erstmal schönen Gruß, bin neu angemeldet Big Laugh

Nun zu meiner Frage:

Ich habe folgende Matrix gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und soll nun daraus eine Diagonalmatrix bestimmen. Habe obige Matrix als symmetrische Matrix erkennt. Nun habe ich die Eigenwerte bestimmt und daraus die Eigenvektoren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und daraus nun die Transformationsmatrix gebildet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese habe ich dann nun transponiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll es nun so sein, dass, sofern die Eigenvektoren orthogonal zueinander sind, dann gilt:

T^T = T^-1

Leider ergibt sich für die inverse Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Habe ich irgendwas falsch gemacht? unglücklich

23.07.2014, 11:49

Guppi12

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Hallo und herzlich Willkommen im Forum.

Zitat:

Habe ich irgendwas falsch gemacht? unglücklich

Ja, aber nichts dramatisches.

Die Beziehung $\begin{eqnarray*} T^T = T^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ orthogonal ist. Das bedeutet aber nicht, dass die Spaltenvektoren othogonal sind, sondern dass die Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis des (hier) $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bilden.

Sie müssen also nicht nur orthogonal sein, sondern zusätzlich noch normiert. Hole das Normieren schnell nach und alles sollte passen.

Falls das garnicht das Ziel ist und du nur irgendwie diagonalisieren musst, brauchst du nichts weiter machen, musst dann aber damit leben, dass deine Inverse nicht gleich der Transponierten ist.

23.07.2014, 11:56

Tergo7

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Achso, also wenn ich das Ganze normalisiere, sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Heißt das, wenn ich jetzt obige Matrix transponiere, bzw. invertiere, dann kommt dieselbe Matrix raus?

Und mit welcher berechne ich jetzt meine Diagonalmatrix? Mit der normierten oder der unnormierten Transformationsmatrix?

Danke für die Hilfe Wink

23.07.2014, 11:58

Guppi12

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Zitat:

Heißt das, wenn ich jetzt obige Matrix transponiere, bzw. invertiere, dann kommt dieselbe Matrix raus?

Ja.

Zitat:

Und mit welcher berechne ich jetzt meine Diagonalmatrix? Mit der normierten oder der unnormierten Transformationsmatrix?

Das kommt drauf an. Wenn gefordert ist, dass du orthogonal diagonalisieren sollst, wird gefordert, dass deine Transformationsmatrix orthogonal ist. Wenn das nicht gefordert ist, kannst du es dir natürlich aussuchen.

23.07.2014, 12:03

Tergo7

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Berechnen Sie eine orthogonale Transformationsmatrix T, sodass

$\begin{eqnarray*} T^{-1} * A * T = D \end{eqnarray*}$

eine Diagonalmatrix ist. Müsste ich dann also mit der normierten Matrix berechnen, richtig?

23.07.2014, 12:05

Guppi12

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Richtig.

23.07.2014, 12:17

Tergo7

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Alles klar, Danke für die Hilfe! Wink

23.07.2014, 21:19

Tergo7

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Eine Frage habe ich dann doch noch:

Wenn ich die Transformationsmatrix aus den Eigenvektoren aufstelle, ist es dann egal, in welcher Reihenfolge ich diese anordne?

Also ob ich jetzt v1, v2, v3 oder v2, v1, v3 als Matrix schreibe?

23.07.2014, 21:30

Guppi12

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Hier ja.

Wenn es um die jordansche Normalform geht, ist die Reihenfolge aber schon entscheidend.

24.07.2014, 00:21

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12
Hier ja.

Wenn es um die jordansche Normalform geht, ist die Reihenfolge aber schon entscheidend.

Vielleicht solltest du dann aber noch sagen, dass es bei einer Matrix, die nur auf echte Jordan-Normalform gebracht werden kann (d.h. keine Diagonalform), keinen vollen Satz von orthogonalen Eigenvektoren gibt. Gäbe es den nämlich, so wäre die Matrix diagonaliserbar.

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