Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild

24.07.2014, 10:43

Mell_94

Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild

Hallo Zusammen,

ich bin neu hier und hoffe mit dieser Frage gegen keine Foren-Regeln zu verstoßen.
Die Suche ergab leider kein zutreffendes Ergebnis.

Ich studieren im ersten Semester Mathematik (ab 10.2014) und aktuell noch im Vorbereitungskurs. Da werden mathematische Grundlagen auf Hochschulniveau nochmal aufbereitet. U.a. beschäftigen wir uns gerade mit Abbildungen.

Es gilt hier das Bild und Urbild (mit prädikatenlogischen Begriffen) zu definieren.
Irgendwie tue ich mir noch schwer mit der Anwendung von Quantoren.
Kann mir hier jemand helfen meinen Fehler zu erkennen und meinen Gedankengang in die richtige Richtung lenken.

Es ist folgendes vorgegeben:
$\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$

Ich habe das Bild und Urbild folgendermaßen Definiert:
$\begin{eqnarray*} Bild(f):=\lbrace n\in N \mid n \in f(M) \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Urbild(f):=\lbrace m \in M \mid m \in f^{-1}(Bild(f))\rbrace \end{eqnarray*}$

Leider war dies dem Tutor nicht niveauvoll und elegant genug. Er hätte das ganz gerne mit Einsatz von Quantoren definiert. Über die Korrektheit hat er sich nicht geäußert.

Also versuchte ich:
$\begin{eqnarray*} Bild(f):=\lbrace n\in N \mid \exists m \in M : f(m)=n \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Urbild(f):=\lbrace m \in M \mid \forall m \in M : ( \exists ! n \in f(M): m=f^{-1}(n)) \rbrace \end{eqnarray*}$

Jetzt antwortete der Tutor: fehlerhaft (ohne weitere Erklärung)
Nun frage ich mich, ob der Einsatz der Quantoren fehlerhaft sei, oder ob ich die Definition ganz generell falsch verstanden habe.

Kann mir bitte jemand helfen?

Vielen lieben Dank.
Mell

24.07.2014, 10:59

Math1986

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RE: Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild
Hallo,
die Definition des Bildes ist soweit richtig:
$\begin{eqnarray*} Bild(f):=\lbrace n\in N \mid \exists m \in M : f(m)=n \rbrace \end{eqnarray*}$

Das Urbild stimmt so nicht. Die Frage ist, was mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Die Umkehrfunktion existiert nämlich im Allgemeinen nicht. Ist damit die Urbildmenge gemeint, so macht die Gleichung $\begin{eqnarray*} m=f^{-1}(n) \end{eqnarray*}$ keinen Sinn (links ein Element, rechts eine Menge). und warum $\begin{eqnarray*} \exists ! \end{eqnarray*}$ ? Es können doch auch mehrere Elemente auf das selbe Bild abgebildet werden.

Versuch mal, das Urbild ohne die Verwendung von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ zu definieren.

24.07.2014, 11:14

Mell_94

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RE: Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild
Ok, ich kann also nicht einfach davon ausgehen, ob die Umkehrfunktion existiert. Kapiert!

Warum $\begin{eqnarray*} \exists ! \end{eqnarray*}$ :
Ich hatte das von links nach rechts gelesen, folgendermaßen verstanden:
Für alle m in M existiert genau ein n in Bild(f).
Bei uns im Skript steht: "Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ ist eine Vorschrift, die jedem $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ zuordnet."
Nicht korrekt?

Gruß
Mell

24.07.2014, 11:18

Math1986

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RE: Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild

Zitat:

Original von Mell_94
Bei uns im Skript steht: "Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f : M \to N \end{eqnarray*}$ ist eine Vorschrift, die jedem $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ zuordnet."
Nicht korrekt?

Das ist korrekt, das heißt aber nicht, dass jedem $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ auch genau ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ zugeordnet wird (Funktionen, für die das gilt, heißen bijektiv).
Daher existiert die Umkehrfunktion auch nur für bijektive Funktionen.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f\colon\left\{1,2\right\}\to\left\{1,2\right\},f(1)=f(2)=1 \end{eqnarray*}$
Hier hat die 1 eben 2 Urbilder und die 2 gar keines.

24.07.2014, 11:23

Mell_94

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RE: Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild
Habe ich mit
$\begin{eqnarray*} \forall m \in M : \exists ! n \in f(M) \end{eqnarray*}$
nicht genau das ausgedrückt?
Oder wie würde man dies interpretieren?

24.07.2014, 11:27

Math1986

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RE: Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild

Zitat:

Original von Mell_94
Habe ich mit
$\begin{eqnarray*} \forall m \in M : \exists ! n \in f(M) \end{eqnarray*}$
nicht genau das ausgedrückt?
Oder wie würde man dies interpretieren?

Das "!" steht eben für "es gibt genau ein Urbild, was so eben nicht stimmt.

24.07.2014, 11:36

Mell_94

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RE: Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild
Jetzt bin ich ein wenig verwirrt.

Mit
$\begin{eqnarray*} n \in f(M) \end{eqnarray*}$
ist doch das Bild gemeint und nicht das Urbild, oder?

Ich wollte eigentlich schreiben, dass jedem Urbild genau ein Bild zugeordnet wird.
Wie würde das denn in quantorenschreibweise aussehen?

24.07.2014, 11:43

Math1986

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RE: Abbildungen / Logik: Definition Bild und Urbild

Zitat:

Original von Mell_94
Jetzt bin ich ein wenig verwirrt.

Mit
$\begin{eqnarray*} n \in f(M) \end{eqnarray*}$
ist doch das Bild gemeint und nicht das Urbild, oder?

$\begin{eqnarray*} f(M) \end{eqnarray*}$ meint das Bild, richtig.

Zitat:

Original von Mell_94
Ich wollte eigentlich schreiben, dass jedem Urbild genau ein Bild zugeordnet wird.
Wie würde das denn in quantorenschreibweise aussehen?

$\begin{eqnarray*} \forall m\in M\exists ! n\in N\colon n=f(m) \end{eqnarray*}$ , eben ohne die Umkehrfunktion.

24.07.2014, 11:47

Mell_94

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Ich glaub, es dämmert mir langsam.

Da werde ich wohl noch ein paar Übungsaufgaben machen müssen.

Vielen Dank!!!

24.07.2014, 12:51

Nofekyx

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Was soll eigentlich das Urbild einer Funktion sein? Ich kenne nur das Urbild einer Menge unter einer Funktion verwirrt

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