Cauchysche Integralformel Anwendung nicht verständlich

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchysche Integralformel Anwendung nicht verständlich
Hallo Freunde,

ich habe Probleme mit der Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben.
Ich verstehe nicht wie ich diese anwenden kann.

Angenommen wir haben das Integral:



gegeben.
Und den Weg:

Ich soll dieses Integral mittels der Cauchyschen Intelgralformel für Kreisscheiben berechnen.

Die kritischen Punkte, die die Definiertheit des Integrals ausschließen sind ja die Punkte und

Die Cauchysche Integralformle lautet laut Vorlesung:



Bei mir hängt es an der Stelle und
Was sind das für Werte? Wie soll ich jetzt diese Formel auf das Integral oben anwenden?

Ich hoffe ihr könnt mir das erklären.

Vielen Dank im Voraus.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Die Cauchysche Integralformle lautet laut Vorlesung:


und die hattet ihr nicht in etwas allgemeinerer Form? Mit auf der linken Seite statt einfach nur ?

Zitat:
Bei mir hängt es an der Stelle und Was sind das für Werte? Wie soll ich jetzt diese Formel auf das Integral oben anwenden?


Ähm, was in der Cauchyintegralformel das und das (und übrigens auch ) sind, sollte eigentlich bei dem zugehörigen Satz dazustehen, sonst ist es kein Satz, schlag das doch nochmal nach. (Außerdem hast du ein im Integral vergessen.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben noch eine Cauchysche Integralformel für Ableitungen, falls du das meinst:



Aber woher soll ich denn wissen wann ich welche Formel anwenden muss. Ist das hier die gängigste?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist das hier die gängigste?


Nein, etwas später in eurer Vorlesung wird noch eine weitaus allgemeinere dazukommen.

Es ist aber so, dass diese (im Fall n=0) die vorige ja schon als Spezialfall enthält, du kannst dir also einfach diese merken.

Ich gebe mal den Tipp das in der Cauchyintegralformel als und das genau wie in der Aufgabe zu wählen. Schau mal, was du damit so machen kannst.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber ich kann damit leider nichts anfangen. verwirrt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das Gefühl, das liegt mehr daran, dass du die Vorlesungsinhalte noch nicht ordentlich nachbearbeitet hast.

Was passiert denn, wenn du einfach mal die Formel, die du vorhin angegeben hast, allgemein auf das von mir vorgeschlagene f loslässt, wobei n und z selbst erstmal noch frei gelassen werden.
 
 
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sollte sowas dastehen:

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da verwechselt, was ist und was . (nicht überall)

und kannst du das mit dem doppelten Bruch nicht etwas schöner schreiben Augenzwinkern
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Du hast da verwechselt, was ist und was . (nicht überall)

und kannst du das mit dem doppelten Bruch nicht etwas schöner schreiben Augenzwinkern


Das ist ja auch mein Problem wie beim ersten Post schon erwähnt. Ich finde keinen Zugang in die Formel...
Ich weiß nicht was z und w ist, das steht auch nicht im Skript.

schöner würde es so aussehen:

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich weiß nicht was z und w ist, das steht auch nicht im Skript.


Das hat damit garnichts zu tun, du hast die Formel ja richtig zitiert.

Wenn . Dann ist nicht . Das ist doch pures Einsetzen.


Edit: Ich kann mir nicht vorstellen, dass im Skrip einfach nur diese Formel steht und nicht dabei steht, für welche diese Formel denn nun richtig ist.

Da sollte etwas stehen wie:

Sei offen, holomorph, und Parametrisierung eines Kreises mit positiver Orientierung um , der ganz in liegt. Dann gilt obige Formel für alle innerhalb des parametrisierten Kreises.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »



eingesetzt:



so sollte es aber stimmen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und jetzt solltest du sehen, dass da bei passender Wahl von und genau dein Integral steht.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu muss sein und sein.

Insgesamt folgt also:



wie mach ich nun weiter?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Da solltest du noch etwas länger drüber überlegen. Das fällt dir selbst ein.

Edit: links steht übrigens , nicht .
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

So vielleicht?

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein,



ist schon ganz gut, denn das Integral, dass du ausrechnen willst, hat ja genau die Form. Ich würde sagen du überlegst mal eine halbe Stunde und um 9 sehen wir uns hier wieder ok?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Okay bis gleich smile
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich habs.

Also:

ich habe die Gleichung umgeformt in:



Dann dachte ich rechne doch einfach die linke Seite aus und du bist fertig.






Bitte sag mir dass das richtig ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, das sieht gut aus.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Boah ich danke dir vielmals Gruppi12 smile

ich hab aber noch eine Frage:

Wieso hast du am Anfang gewählt?

weil etwa der Punkt nicht im Weg liegt, wo das Integral definiert ist?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man hat ja vorgegeben, dass die Cauchyintegralformel zu verwenden ist.

Man muss also sein irgendwie so wählen, dass es einerseits holomorph auf ist und man andererseits das Integral schreiben kann als . Der Teil des Integranden, der beinhaltet kann also schonmal nicht dabei sein, denn der macht die Holomorphie auf kaputt. Dann bleibt aber nur noch der andere Teil über und mit dem richtigen Blick sieht man dann auch sofort, dass es damit dann funktioniert.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals Gruppi12 smile
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Gruppi12,

habe grad noch eine ganz wichtige Frage.

Wie kommt auf dieses . Weil das ist ja entscheidend bei der Wahl von einer holomorphen Funktion f.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg war in der Aufgabe gegeben. Dieser paramtrisiert den Rand von B(0,2).

Besuchst du eigentlich auch eine Vorlesung zur Funktionentheorie oder bringst du dir das selbst bei ?
Die Fragen, die du stellst, sollten dort nämlich eigentlich alle behandelt werden.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Bringe mir das selbsr bei bzw. versuche ich das Big Laugh
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde empfehlen nebenbei eine Vorlesung dazu anzuschauen. Es ist nämlich so, dass in der Vorlesung über vieles gesprochen wird, was beim Selbsterarbeiten nicht so aufkommt. Insbesondere geht es dabei um ein intuitives Verständnis der Funktionentheorie, das meiner Meinung nach ganz wichtig ist.

Wenn du das nicht an deiner Uni machen möchtest, kann ich beispielsweise diese hier empfehlen:

(Wenn ich den Link direkt einfüge funktioniert es aus irgendwelchen Gründen nicht, du musst die URL von Hand kopieren)

code:
1:
http://timms.uni-tuebingen.de/Browser/Browser01.aspx?path=%2fUniversit%C3%A4t+T%C3%BCbingen%2fMathematisch-Naturwissenschaftliche+Fakult%C3%A4t%2fMathematik%2fVorlesung+Analysis+IV+SoSe+2011%2f
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Okay super, ich danke dir! Freude
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider nicht verstanden wie man auf die Umgebung kommt.

Bei dem Integral:




mit

Dabei definiert f eine holomorphe Funktion auf einer offenen Umgebung von D, etwa , denn die einzige Nullstelle des Nenners liegt nicht in G

Kann mir bitte jemand genau erklären wie man auf kommt? unglücklich

Der Abstand von zum Nullpunkt ist doch laut Aufgabe : , wieso schreiben die
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
das 5/4 ist hier willkürlich gewählt, man hätte z.B. stattdessen auch 6/5 oder
11/9 wählen können , es geht ja nur darum, das erstens die einheitskreisscheibe
überdeckt wird und zweitens die nennernullstelle 1,5 nicht mit ins gebiet kommt.
gruss ollie3
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay danke dir smile
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