Basen,Schnitte, Summe

28.07.2014, 13:03

Michelangelo

Basen,Schnitte, Summe

Hii, ich habe die Untervektorräume

$\begin{eqnarray*} U_1=\{f\in V|f(1)=0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2=\{f\in V|f(-1)=0\} \end{eqnarray*}$ Ich soll nun Basen bestimmen und $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ und schauen ob die Summe direkt ist.

Zu den basen habe ich schon etwas herausgefunden und zwar dachte ich mir die Basen müssen sein:

Basis zu $\begin{eqnarray*} U_1=span((1,(x-1),(x-1)^2,(x-1)^3) \end{eqnarray*}$ und Basis zu $\begin{eqnarray*} U_2=span(1,(x+1),(x+1)^2,(x+1)^3) \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so?

Nun geht es um die Summe von $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ . Soll ich jetzt einfach die lineare Hülle der beiden Basen betrachten oder wie bekomme ich das heraus?

Danke schonmal Wink

28.07.2014, 13:08

Elvis

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Ohne Vektorraum gibt es keine Untervektorräume ! 1 liegt bestimmt nicht in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ .

28.07.2014, 13:12

Michelangelo

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Ich sollte auch dabei schreiben das V ein Vektorraum der reellen Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist. Also müssten die Basen dann

$\begin{eqnarray*} U_1=span((x-1),(x-1)^2,(x-1)^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_2=span((x+1),(x+1)^2,(x+1)^3) \end{eqnarray*}$

sein oder?

28.07.2014, 13:20

Elvis

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Gut geraten. Warum ist das so ? Ich bitte um einen kleinen Beweis.

Wenn du damit fertig bist, kannst du dir überlegen, dass $\begin{eqnarray*} V=U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ gilt.
Dann hilft die Dimensionsformel $\begin{eqnarray*} dim(U_1+U_2)=dim (U1)+dim (U_2) -dim (U_1\cap U_2) \end{eqnarray*}$ weiter.
Zum Schluß musst du nur noch eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ erraten (darin hast du ja schon Erfahrung Augenzwinkern

) .

28.07.2014, 14:43

Michelangelo

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Witzig, geraten wird hier schonmal garnicht! Big Laugh

Ne, spaß beiseite, ich habe mir dazu überlegt da $\begin{eqnarray*} \{1,x,x^2,x^3\} \end{eqnarray*}$ die kanonische Basis des Vektorraums der Polynome vom Grad kleiner gleich 3 ist muss ich diese Basis noch etwas anpassen das die Bedingung im ersten Fall f(1)=0 erfüllt ist. Das ist ja genau der Fall wenn:

$\begin{eqnarray*} (x-1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-1)^2=0 \end{eqnarray*}$ usw. Das selbe Vorgehen bei $\begin{eqnarray*} U_2. \end{eqnarray*}$ Reicht dir das schon als Begründung?

Zu dem $\begin{eqnarray*} V=U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ .

Also die Addition von UVR ist ja erklärt als $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=\{u_1+u_2|u_1\in U_1~und~u_2\in U_2\} \end{eqnarray*}$ Also quasi ist dann

$\begin{eqnarray*} U_1+U_2=span(U_1+U_2)=span((x-1),(x-1)^2,(x-1)^3,(x+1),(x+1)^2,(x+1)^3) \end{eqnarray*}$ und das ist wiederrum:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(x-1)+\lambda_2(x-1)^2+\lambda_3(x-1)^3+\lambda_4(x+1)+\lambda_5(x+1)^2+\lambda_6(x+1)^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_6\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Das habe ich jetzt mal ausmultipliziert und sortiert.

$\begin{eqnarray*} x^3(\lambda_3+\lambda_6)+x^2(\lambda_2-\lambda_3+\lambda_5+3\lambda_6)+x(\lambda_1-2\lambda_2+2\lambda_3+\lambda_4+2\lambda_5+3\lambda_6)+(-\lambda_1+\lambda_2+\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6) \end{eqnarray*}$

Das heißt also, die Summe von $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ hat die Form $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ und das ist bis auf $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ die kanonische Basis $\begin{eqnarray*} V_B=\{1,x,x^2,x^3\}. \end{eqnarray*}$
Demnach ist $\begin{eqnarray*} U_1+U_2=V_3 \end{eqnarray*}$

Kann ich das so machen? smile

28.07.2014, 18:22

Elvis

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Nein, das reicht mir nicht, ich will mehr. Big Laugh

Wieso ist $\begin{eqnarray*} \{x-1,(x-1)^2,(x-1)^3\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ ? Warum sind diese Vektoren linear unabhängig ? (Die Antwort ist fast trivial, aber man muss darüber 10 Sekunden nachdenken.) Warum sind diese Vektoren ein Erzeugendensystem ? (Das ist nicht mehr trivial, deshalb habe ich auf Dimensionsargumente verwiesen, damit kommt man hier am Leichtesten zum Ziel. Tipp: Bedenke dim V=4 . )
Und dann wird die Aufgabe richtig anstrengend. Dein Argument für $\begin{eqnarray*} dim(U_1+U_2)=4 \end{eqnarray*}$ überzeugt mich noch nicht so ganz, du hast nicht nachgewiesen, dass jede Linearkombination möglich ist, sondern nur speziell aus lambdas zusammengesetzte a,b,c,d. Tipp: Es gibt Vektoren in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ , die nicht in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ sind, sogar fast alle, daraus folgt die Behauptung.
Danach siehe meine Anleitung von heute mittag. Zur Basis vom Durchschnitt noch ein Tipp: Betrachte als ersten Basisvektor $\begin{eqnarray*} (x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$ (den habe ich geraten !).

28.07.2014, 19:55

Michelangelo

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Also ich könnte jetzt zeigen das $\begin{eqnarray*} x-1,(x-1)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-1)^3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind durch Koeffizientenvergleich. Ich denke dann wird es deutlich. Also ich meine:
$\begin{eqnarray*} \alpha (x-1)+\beta (x-1)^2+\gamma (x-1)^3=0 \end{eqnarray*}$ und nun zeigen das für $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung existiert.
Zu dem Erzeugendensystem:
Also $\begin{eqnarray*} dimV=4 \end{eqnarray*}$ also muss gelten: $\begin{eqnarray*} dimV=4\geq dimU_1 \end{eqnarray*}$ Da die Dimension die Anzahl der Basisvektoren ist muss die Dimension von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ drei sein. Reicht das nicht? Ich soll doch garnicht zeigen das es ein Erzeugendensystem ist Big Laugh

Zitat:

Und dann wird die Aufgabe richtig anstrengend. Dein Argument für $\begin{eqnarray*} dim(U_1+U_2)=4 \end{eqnarray*}$ überzeugt mich noch nicht so ganz, du hast nicht nachgewiesen, dass jede Linearkombination möglich ist, sondern nur speziell aus lambdas zusammengesetzte a,b,c,d.

Warum? $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_6 \end{eqnarray*}$ sind doch aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Da kann doch jede Zahl angenommen werden? verwirrt

Das würde dann weiter laufen mit der Dimensionsformel für Untervektorräume. Da gilt

$\begin{eqnarray*} dimU_1+dimU_2=dim(U_1+U_2)+dim(U_1\cap U_2) \end{eqnarray*}$
Eingesetzt liefert es dann: $\begin{eqnarray*} 3+3=4+\dim (U_1\cap U_2) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} dim(U_1\cap U_2)=2 \end{eqnarray*}$ Also muss es eine Basis sein die aus zwei Vektoren besteht.
Jetzt ist natürlich die Frage wie sehen diese aus? Direkt ist die Summe dann also auch nicht da eine Summe nur direkt ist wenn $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2=0 \end{eqnarray*}$ gilt und da die Dimension $\begin{eqnarray*} dim (U_1\cap U_2)=2 \end{eqnarray*}$ besteht die Basis aus zwei Vektoren und ist damit nicht Null.
Wie gehts denn jetzt weiter? Big Laugh

29.07.2014, 11:31

Elvis

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Das ist soweit gut genug, dass ich deine Bemühungen anerkenne, deshalb gebe ich dir jetzt eineMusterlösung gratis. Augenzwinkern

a) Basis von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ (genau so für $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ ) : In $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , also auch in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , sind $\begin{eqnarray*} x-1,(x-1)^2,(x-1)^3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. $\begin{eqnarray*} U_1<V \end{eqnarray*}$ ist ein echter Untervektorraum, weil nicht jedes Polynom 1 als Nullstelle hat, also kann es höchstens 3 linear unabhängige Vektoren in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ geben. Diese sind also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h. eine Basis.
b) $\begin{eqnarray*} V=U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ . Beweis: $\begin{eqnarray*} x+1\in U_2 \cap V\backslash U_1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} V=span(U_1 \cup \{x+1\})=span(U_1 \cup U_2)=U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ .
c) $\begin{eqnarray*} dim(U_1 \cap U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)-dim(U_1+U_2)=3+3-4=2 \end{eqnarray*}$ , also ist insbesondere die Summe nicht direkt.
d) Eine Basis von $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ besteht aus genau 2 linear unabhängigen Vektoren, die Nullstellen bei 1 und -1 haben. Das sind zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(x-1)(x+1) \end{eqnarray*}$ .

29.07.2014, 12:35

Michelangelo

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Dankeschön Elvis, ich werde mir das alles auch noch einmal überlegen.

Grüße Wink

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