Hauptideale in Dedekindring

29.07.2014, 14:20	pittersen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptideale in Dedekindring Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} $K$ \end{eqnarray}$ ein imaginär-quadratischer Zahlkörper mit Ganzheitsring $\begin{eqnarray} $R$ \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} $R$ \end{eqnarray}$ ist ein Dedekindring. Seien $\begin{eqnarray} c, a \end{eqnarray}$ ganze Ideale in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Ich will zeigen: Zu jedem ganzen Ideal $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ gibt es ein Element $\begin{eqnarray} t\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} <br /> c=at\cap R<br /> \end{eqnarray}$ Zeigen konnte ich bisher die Aussage:Zu jedem ganzen Ideal $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ gibt es ein Element $\begin{eqnarray} t\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} <br /> c=tR\cap R<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Benutzt habe ich die Tatsache, dass es zu einem ganzen Ideal $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ in jeder Idealklasse ein zu $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ teilerfremdes Ideal gibt. Dazu habe ich auch eine Frage: Angenommen ich habe zu $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ so ein teilerfremdes Ideal $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ gefunden. Wieso ist dann $\begin{eqnarray} mb^{-1} \end{eqnarray}$ ein gebrochenes Hauptideal? also $\begin{eqnarray} mb^{-1}=tR \end{eqnarray}$ für ein [latex]t\in\mathbb{C}latex]?
30.07.2014, 16:55	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptideale in Dedekindring hallo, habe mir gedanken über diese aufgabe gemacht: Zu so einer zahl t könnte man doch kommen, wenn man sich ein element aus c nimmt und durch ein element aus a dividiert, das ergebnis ist eine komplexe zahl, und das ist immer möglich, weil wir ja einen zahlkörper haben, wo die division (ausser durch 0) immer ein ergebnis hat. Ich weiss aber nicht, ob das schon alles ist... gruss ollie3

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