Isomorphismus nachweisen

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shamy Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus nachweisen
Meine Frage:
Hallo smile

da ich nächste Woche eine Prüfung in Linearer Algebra schreibe, habe ich noch eine Frage.

Ich habe einen Homomorphismus S: R3 --> R3 gegeben mit:

S(2,1,-1)=(-1,-1,2)
S(-1,-1,2)=(1,1,-3)
S(1,1,-3)=(2,1,-1)

Nun soll ich zeigen, dass S ein Isomorphismus ist.

Meine Ideen:
Ich dachte, da beide Vektorräume der linearen Abbildung die Dimension 3 haben, müsste es sich ja eigentlich um einen Isomorphismus handeln.
Ich weiß nur nicht so recht, wie ich nachweisen kann, dass S sowohl injektiv als auch subjektiv ist. Oder gibt es vielleicht einen anderen Weg, die Isomorphie nachzuweisen?

Ich wäre echt erleichtert, wenn ihr mir einen Ansatz sagen könntet.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich dachte, da beide Vektorräume der linearen Abbildung die Dimension 3 haben, müsste es sich ja eigentlich um einen Isomorphismus handeln.

Nein, aber deshalb kann es sich überhaupt nur um einen Isomorphismus handeln.

Zitat:
Ich weiß nur nicht so recht, wie ich nachweisen kann, dass S sowohl injektiv als auch subjektiv ist.

Du meinst wohl surjektiv? Welche Sätze kennst du denn etwa zur Injektivität?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@shamy
Tipp zu Aufgabe: Wenn ein Homomorphismus eine Basis auf eine Basis abbildet, so ist er ein Isomorphismus.
Tipp zur Prüfung: Lerne ganz schnell alles, was in der Vorlesung über Vektorräume und lineare Abbildungen gesagt wurde.
shamy Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten zur Injektivität nur, dass wenn f(x)=f(x') dann auch gelten muss, dass x=x'.

@Elvis
das bedeutet also, dass ich jeweils eine Basis des Startraums und des Zielraums finden muss, und wenn diese identisch sind handelt ich es um einen Isomorphismus?


Shamy
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wir hatten zur Injektivität nur, dass wenn f(x)=f(x') dann auch gelten muss, dass x=x'.

Ok... Dann versuchen wir mal zu folgern: injektiv.
Angenommen es wäre , dass ist äquivalent zu . Jetzt nutze die Linearität und die Annahme, dass Augenzwinkern

Zitat:
das bedeutet also, dass ich jeweils eine Basis des Startraums und des Zielraums finden muss, und wenn diese identisch sind handelt ich es um einen Isomorphismus?

Nein, du kannst prüfen ob eine Basis von bilden, wobei bereits eine Basis ist.
In deinem Fall speziell und .

EDIT: Ich sehe gerade, in der Aufgabe heißt die Lineare Abbildung , also gilt für alles von mir geschriebene Wink
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@shamy
Hast du mittlerweile gemerkt, dass es sich bei dieser Aufgabe um eine Scherzfrage handelt ? Wenn nicht, ist das auch egal. Lerne, wenn du an der Prüfung teilnehmen möchtest.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus nachweisen
Scherz hin oder her: Weise nach, dass die angegebenen Vektoren linear unabhängig sind und gucke genau hin. Der Rest ergibt sich.
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