Produkt einer invertierbaren Matrix mit ihrer Transponierten ist symmetrisch.

30.07.2014, 19:33

friggonaut

Produkt einer invertierbaren Matrix mit ihrer Transponierten ist symmetrisch.

Hallo,

ich möchte zeigen
$\begin{eqnarray*} Matrix~A~ist~invertierbar \Rightarrow A\cdot A^T~ist~symmetrisch \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Dabei~soll \cdot die~Matrizenmultiplikation~ und~ A^T ~ die~ Transposition~ von ~A~ sein. \end{eqnarray*}$

Für 2x2-Matrizen oder Matrizen eines bestimmten, kleinen Formats ist der Beweis kein Problem. Ich nehme für die Einträge Variablen, multipliziere aus und transponiere das Ergebnis. Aber wie zeigt man sowas für eine beliebige invertierbare Matrix A?

Danke für Eure Hilfe!!!

30.07.2014, 19:38

bijektion

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Wenn $\begin{eqnarray*} A\cdot A^T \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} A\cdot A^T = (A\cdot A^T)^T \end{eqnarray*}$ , jetzt kannst du erstmal nutzen, dass $\begin{eqnarray*} (A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T \end{eqnarray*}$ .

30.07.2014, 19:47

friggonaut

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Danke für Deine Antwort bijektion.

Dann geh ich doch schon von dem aus, was ich zeigen möchte?!

30.07.2014, 19:50

bijektion

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Nein. Ziel ist es, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (A\cdot A^T)^T \end{eqnarray*}$ sich zu $\begin{eqnarray*} A\cdot A^T \end{eqnarray*}$ umformen lässt.

30.07.2014, 19:53

friggonaut

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ok. jetzt verstehe ich, was du meinst. "... genau dann, wenn ..." ist aber aus meiner sicht was anderes als "wenn ..., dann"

30.07.2014, 19:55

bijektion

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Zitat:

jetzt verstehe ich, was du meinst. "... genau dann, wenn ..." ist aber aus meiner sicht was anderes als "wenn ..., dann"

Ja und?

30.07.2014, 20:12

friggonaut

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Dein erster Post ist im Prinzip schon der Beweis. Muss nur noch sauber aufgeschrieben werden. Vielen Dank!

Ich meinte, ich brauche ja die Rückrichtung
$\begin{eqnarray*} wenn~ (A \cdot A^T)^T = A \cdot A^T,~ dann~ ist~ A~symmetrisch \end{eqnarray*}$

30.07.2014, 20:16

friggonaut

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dass die invertierbarkeit keine rolle spielt, hätte ich nicht gedacht. Augenzwinkern

30.07.2014, 20:27

friggonaut

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Der Vollständigkeit halber:

$\begin{eqnarray*} (A \cdot A^T)^T=(A^T)^T \cdot A^T=A \cdot A^T \Rightarrow A \cdot A^T~ist~symmetrisch \end{eqnarray*}$

30.07.2014, 22:26

bijektion

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Zitat:

Das stimmt aber nicht verwirrt

Die Invertierbarkeit ist auch notwendig:

Zitat:

Nein. Ziel ist es, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (A\cdot A^T)^T \end{eqnarray*}$ sich zu $\begin{eqnarray*} A\cdot A^T \end{eqnarray*}$ umformen lässt.

Jetzt gilt: $\begin{eqnarray*} (A\cdot A^T)^T=A^T\cdot A \end{eqnarray*}$ und es ist zu zeigen, dass dies $\begin{eqnarray*} =A\cdot A^T \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \det A=\det A^T \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ invertierbar und was gilt für $\begin{eqnarray*} (A^T)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Da war ich irgendwie total neben der Spur, sorry Hammer

30.07.2014, 22:44

Guppi12

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Hallo bijektion,

der Beweis von friggonaut in dem Beitrag davor ist doch vollkommen korrekt. Was meinst du denn, was falsch ist?

Kann auch sein, dass ich gerade ein Brett vorm Kopf habe, aber für mich scheint viel eher das hier falsch zu sein: $\begin{eqnarray*} (A\cdot A^T)^T=A^T\cdot A \end{eqnarray*}$ .

30.07.2014, 22:47

bijektion

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Hi Guppi,
nein ich glaube ich hab gerade das Brett vorm Kopf Hammer

Ich werde das mal editieren unglücklich

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Produkt einer invertierbaren Matrix mit ihrer Transponierten ist symmetrisch.

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