Liegt ein Punkt in einer Geraden

31.07.2014, 10:54

134340

Liegt ein Punkt in einer Geraden

Hey

Ich hab zwei Geradengleichungen in Parameterform gegegeben: $\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} -10 \\ -20 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 53 \\ 46 \\ 45 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 24 \\ 20,5 \\ 22,5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Jetzt soll ich nachweisen dass die beiden Geraden den Punkt $\begin{eqnarray*} T( 96 | 72 | 90) \end{eqnarray*}$ schneiden. Dazu fallen mir jetzt nur drei Methoden ein:
1. Den Punkt mit einer der GLeichungen gleichsetzen und auf das LGS den Gauß-Algorithmus anwenden, dann weiß man wie groß die Variable ist.
2. Eine Gerade in Koordinatenform umwandeln und dann den Punkt dort einsetzen.
3. für jede lineare Gleichung einzeln Überprüfen welchen Wert die Variable hat z.B. $\begin{eqnarray*} 24t=96 \end{eqnarray*}$
Lange Rede kurzer Sinn: in den Lösungen steht einfach nur 2 und 4 als Lösung und kein Rechenweg; gibt es eine Methode bei der kein Rechenweg benötigt wird?

31.07.2014, 11:07

Leopold

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Deine Ausdrucksweise ist nicht korrekt. Du kannst sagen: "... daß sich die beiden Geraden im Punkt $\begin{align*} T \end{align*}$ schneiden". Du kannst auch sagen: "... daß $\begin{align*} T \end{align*}$ auf beiden Geraden liegt".

Auf $\begin{align*} r \end{align*}$ und $\begin{align*} t \end{align*}$ kommt man am schnellsten, wenn man sich die dritte Koordinate anschaut. Da sich $\begin{align*} 90 \end{align*}$ ergeben muß, kann nur $\begin{align*} r=2 \end{align*}$ und $\begin{align*} t=4 \end{align*}$ gelten (das kann man im Kopf rechnen). Und jetzt probiert man durch Einsetzen, ob sich mit diesen beiden Werten auch die andern Koordinaten von $\begin{align*} T \end{align*}$ korrekt ergeben.

31.07.2014, 11:41

134340

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Dass mit der Ausdrucksweise war mir nicht geläufig, danke für diese Klarstellung smile