Supremum, Infimum einer Folge

02.08.2014, 17:33

Snaff

Supremum, Infimum einer Folge

Hallo

Ich bin gerade beim Üben auf eine Aufgabe gestoßen, bei der der Rechenweg fehlt. Ich habe leider keinen Plan wie ich auf die Lösung komme.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen smile

Zitat:

Aufgabe:Bestimme Supremum und infimum von der Folge $\begin{eqnarray*} a_n= \frac {2n+100} {n+1} \end{eqnarray*}$

Lösung:

Zitat:

M = { a_n mit n der natürlichen Zahlen}
sup(M) = 51
inf(M) = 2

Mehr steht da leider nicht.

LG

02.08.2014, 17:52

Gast11022013

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Was ist denn überhaupt das Supremum und Infimum?

02.08.2014, 18:12

Stephan Kulla

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Versuche erst einmal Eigenschaften der Folge zu bestimmen. Ist die Folge monoton steigend oder monoton fallend? Ist sie konvergent? Ist die Folge beschränkt? Was ist der Grenzwert der Folge? Die Antwort auf diesen Fragen wird dir später bei dem Beweis helfen...

02.08.2014, 18:14

Snaff

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Supremum der kleine Wert in einer Menge und Infimum der größte Wert in einer Menge.

Ich hab den kleinsten Wert eingesetzt. Der kleinste Wert ist 1 da es sich um natürliche Zahlen handelt.

102 / 2 = 51

Nur wie komme ich auf die inf(M) = 2. Die Menge der natürlichen Zahlen ist ja unendlich.

EDIT: Die Folge ist streng monoton fallend und ich vermute, auch beschränkt. Dann gilt das der limes von der Folge dem Infimum entspricht.

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac {2n+100} {n+1} = \frac {n(2+\frac{100}{n})} {n+1} = \frac {(2+\frac{100}{n})} {1} = 2+\frac{100}{n} = 2 \end{eqnarray*}$

Okay, danke euch beiden. smile

Ich hab verstanden wie ich auf die Ergebnisse komme. Ich hoffe ich habs auch richtig geschlussfolgert.

LG

02.08.2014, 18:18

Gast11022013

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Zitat:

Supremum der kleine Wert in einer Menge und Infimum der größte Wert in einer Menge.

Nein. Schaue das noch einmal nach.
Das Supremum und Infimum ist mehr oder weniger ein Ersatz für das Maximum und Minimum, und muss nicht in der Menge enthalten sein.

02.08.2014, 18:20

Stephan Kulla

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@Snaff: Dass 51 das erste Folgenglied ist, heißt noch nicht, dass es das Supremum der Menge M ist. Hierzu musst du noch beweisen, dass alle weiteren Folgenglieder kleiner gleich sind als 51. Wie du bereits richtig bemerkt hast, kannst du nicht alle Folgenglieder gleichzeitig ausrechnen. Hast du bereits eine Idee zu beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n+100}{n+1} \le 51 \end{eqnarray*}$ ?

02.08.2014, 18:28

Gast11022013

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@Snaff:

Wie gesagt solltest du noch einmal nachschauen was das Supremum und Infimum genau(!) ist.
Es liegt nicht unbedingt in der Menge. Nimm deine Menge als Beispiel.
Du bekommst hier die 2 raus, aber ist 2 ein Element der Menge? Nein. Das ist aber egal, da das Infimum auch nicht in der Menge liegen muss.

Edit:

Übrigens schreibst du deine Rechnung nicht wirklich gut auf. Wenn du einen Grenzwert betrachtest, dann solltest du auch einen Limes davor schreiben...

02.08.2014, 19:21

Snaff

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Okay danke für die weiteren Hinweise. Leider hab ich den Beitrag Editiert wärend neue Antworten kamen. Sieht jetzt bisschen dumm aus Big Laugh

Ich hab Supremum und Infimum nochmals angeschaut. Die Definitionen versteh ich nicht so ganz, deshalb hab ichs mir mal selbst weniger abstrakt erklärt. Ich hoffe ich hab da kein Fehler drin.

Zitat:

Supremum & Infimum
Eine Menge M ist nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl z gibt, für die gilt z >= m für alle Elemente aus M. Ist die Zahl z zusätzlich die kleinste Zahl, für die diese Bedingung gilt, ist diese Zahl das Supremum der Menge.Eine Menge M ist nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl z gibt für die gilt z <= m für alle Elemente aus M. => Da die Menge der natürlichen Zahlen eh nach unten beschränkt ist, muss man nur die 1 einsetzen.

->Der Folge sehe ich an, dass sie streng monoton fallend ist. Ich hoffe das reicht.
->Der Folge sehe ich an, dass sie nach unten beschränkt ist. -> natürliche Zahlen.
Deshalb berufe ich mich auf den folgenden Satz in meiner Mitschrift:

Zitat:

Für montoton wachsende und beschränkte Folgen gilt $\begin{eqnarray*} \lim(a_n) = sup(a_n) \end{eqnarray*}$
Für monoton fallende und beschränkte Folgen gilt $\begin{eqnarray*} \lim(a_n) = inf(a_n) \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Limes berechne, komme ich auf 2. (Danke für den Hinweis mit dem aufschreiben Gmasterflash, ich habs auf Papier förmlich gemacht und hier nur weggelassen weil ich mich mit latex nicht so auskenne, trotzdem vielen dank smile

)
Weshalb liegt 2 nicht in der Menge? Das verwirrt mich

$\begin{eqnarray*} inf(a_n) = { 2 } \end{eqnarray*}$

Stephan Kulla:
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n+100}{n+1} \le 51 \end{eqnarray*}$
Ich würde so argumentieren: Wenn die Folge streng monoton fallend ist(Was ich nur durch hinsehen weiß), bedeutet das doch, das jedes Folgeglied von $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ kleiner sein muss als $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ . Zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ = 34.
Ich denke aber nicht das diese Begründung gilt wenn ich nur behaupte das die Folge streng monoton fallend ist. unglücklich

$\begin{eqnarray*} sup(a_n) = {51} \end{eqnarray*}$

Mal sehen ob ihr nun zufrieden seid Big Laugh

02.08.2014, 19:46

Stephan Kulla

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@Snaff: Deine Argumentation für das Supremum ist richtig! Wie du bereits vermutest, musst du noch beweisen, dass die Folge streng monoton fällt. So ein Beweis für Folgen wird oft über vollständige Induktion geführt. Du kannst die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2n+100}{n+1} \le 51 \end{eqnarray*}$ aber einfacher auch direkt beweisen. Gehe dazu folgendermaßen vor

1. Forme $\begin{eqnarray*} \frac{2n+100}{n+1} \le 51 \end{eqnarray*}$ auf einem Schmirrblatt so lange um, bis du eine Ungleichung herausbekommst, bei der du direkt beweisen kannst, dass sie wahr ist.
2. Im Beweis fängst du mit dieser gewonnenen wahren Aussage an und gehst die Umformungsschritte in umgekehrter Reihenfolge wie auf Schmirrblatt durch, bis du wieder bei der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2n+100}{n+1} \le 51 \end{eqnarray*}$ landest. Achte dabei, dass du bei jedem Umformungsschritt stets valide Ungleichungsumformungen verwendet hast (dass du zum Beispiel nie durch 0 teilst, egal, welchen Wert $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hat)

02.08.2014, 19:49

Stephan Kulla

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Zitat:

Weshalb liegt 2 nicht in der Menge? Das verwirrt mich ?

Weil 2 kein Folgenglied ist. Wäre nämlich ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gleich 2, so wäre für dieses n die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2n+100}{n+1}=2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2n+100=2n+2 \end{eqnarray*}$ , was nicht sein kann. 2 Ist zwar Grenzwert der Folge, wird aber von der Folge nie angenommen. Damit liegt 2 auch nicht in der Menge M.

02.08.2014, 21:10

Stephan Kulla

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@Snaff: Um mit deinem Satz zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \inf(M)=2 \end{eqnarray*}$ ist, kommst du um einen Beweis, dass die Folge monoton fällt nicht herum. Hier kannst du obige Methode mit dem Start $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \le a_n \end{eqnarray*}$ probieren oder einen Beweis über vollständige Induktion.

Eine weitere Voraussetzung für den Satz (und damit etwas, was du beweisen musst), ist die Beschränktheit der Folge. Her kannst du $\begin{eqnarray*} a_n \ge 2 \end{eqnarray*}$ beweisen oder du nutzt den Satz: "Jede konvergente Folge ist beschränkt." Dies muss aber in deiner Vorlesung bereits bewiesen worden sein, wenn du ihn verwenden willst.

02.08.2014, 22:46

Snaff

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Danke für deine Hilfsbereitschaft Stephan smile

Beweis hier beweis da unglücklich

Wenn ich es auch schon nur lese könnte ich anfangen zu weinen Big Laugh

Mein Beweis für folgende Aussage: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \le a_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+100} {n+1} \ge \frac{2(n+1)+100} {(n+1)+1} \frac{n(2+\frac{100}{n})}{n+1} \ge \frac{n(2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n})}{n+1+1} \frac{2+\frac{100}{n}}{1} \ge \frac{2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n}}{1+1} 2+\frac{100}{n} \ge \frac{2+\frac{102}{n}}{2} 2 \ge 1 \end{eqnarray*}$
Damit ist bewiesen, dass die Folge streng monoton fallend ist. (Hoffe ich Big Laugh

)

Das mit der Beschränktheit hab ich nicht so ganz verstanden. Ich habs mir über die Schrankendefinition von Infimum und Sepremum gemerkt.

$\begin{eqnarray*} a_n(n \in N) \end{eqnarray*}$ (Zeichen für natürliche Zahlen)
und die Definition einer Folge mit den Betragsstrichen zeigt doch auch das eine Folge immer nach unten beschränkt ist. verwirrt

Wie erkenne/prüfe ich ob eine Folge beschränkt ist?
In meiner Mitschrift steht: Gilt $\begin{eqnarray*} |a_n| \le A \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ (N für natürliche Zahlen), dann ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ beschränkt.
Da weiß ich nicht was für A steht.

LG

03.08.2014, 12:27

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von Snaff
$\begin{eqnarray*} \frac{n(2+\frac{100}{n})}{n+1} \ge \frac{n(2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n})}{n+1+1} \frac{2+\frac{100}{n}}{1} \ge \frac{2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n}}{1+1} \end{eqnarray*}$

Hier ist ein Fehler, denn $\begin{eqnarray*} \frac{n(2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n})}{n+1+1} \neq \frac{2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n}}{1+1} \end{eqnarray*}$ . Merke dir: Niemals in Summen und Differenzen kürzen! Du musst vorher im Nenner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auch ausklammern, also

$\begin{eqnarray*} \frac{n(2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n})}{n+1+1} = \frac{n(2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n})}{n(1+\tfrac 1n+\tfrac 1n)} = \frac{2+\frac{2}{n}+\frac{100}{n}}{1+\tfrac 1n+\tfrac 1n} \end{eqnarray*}$

Ich würde aber nicht diesen Weg gehen, sondern zunächst mit $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Am Ende musst du in deinem Beweis die Ungleichungsumformung in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben.

Zitat:

Original von Snaff
Das mit der Beschränktheit hab ich nicht so ganz verstanden. Ich habs mir über die Schrankendefinition von Infimum und Sepremum gemerkt.

$\begin{eqnarray*} a_n(n \in N) \end{eqnarray*}$ (Zeichen für natürliche Zahlen)
und die Definition einer Folge mit den Betragsstrichen zeigt doch auch das eine Folge immer nach unten beschränkt ist. verwirrt

Für die Definition von Beschränktheit kannst du dir diese Seite mit dem Abschnitt zur Beschränktheit von Folgen anschauen. In deinem Fall ist der Beweis aber einfach: Jede konvergente Folge ist nämlich auch beschränkt (hierzu habt ihr sicherlich einen Satz in eurem Skript).

03.08.2014, 12:30

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von Snaff

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac {2n+100} {n+1} = \frac {n(2+\frac{100}{n})} {n+1} = \frac {(2+\frac{100}{n})} {1} = 2+\frac{100}{n} = 2 \end{eqnarray*}$

Auch hier ist $\begin{eqnarray*} \frac {n(2+\frac{100}{n})} {n+1} \neq \frac {(2+\frac{100}{n})} {1} \end{eqnarray*}$ . Du hast vielmehr

$\begin{eqnarray*} \frac {n(2+\frac{100}{n})} {n+1} = \frac {n(2+\frac{100}{n})} {n(1+\tfrac 1n)} = \frac {(2+\frac{100}{n})} {1+\tfrac 1n} \end{eqnarray*}$

05.08.2014, 18:21

Snaff

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Danke Stephan, das war wichtig.

Ich hab mir die letzten Tage die ganzen benötigten Vorkenntnisse mal angeschaut.
Das Rechnen habe ich so weit kapiert. Ich verstehe aber nicht weshalb ich alles beweisen muss, ich finde die Folgerungen lassen keinen Zweifel übrig. Ich habs mal zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} a_n= \frac {2n+100} {n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

1. Ich würde die Monotonie untersuchen. Da kommt raus, das die Folge streng monoton fallend ist.

2. Aus 1. folgere ich das n=1 das größte Folgeglied sein muss. Damit automatisch die kleinste obere Schranke. (Wieso ein Beweis? Ist doch durch die Monotonie und der Eigenschaft n = natürliche Zahlen bewiesen.) $\begin{eqnarray*} Sup(a_n)=51 \end{eqnarray*}$

3. Ich berechne den Grenzwert der Folge und komme auf 2. Damit ist die Folge streng monoton fallend + beschränkt, also auch konvergent. Die Folge konvergiert also gegen 2. Damit ist 2 eine untere Schranke und auch die kleinste untere Schranke.(Wieso ein Beweis? Es ist doch nicht möglich, dass es eine kleinere untere Schranke als der Grenzwert existiert(Natürlich bei n nach unendlich) $\begin{eqnarray*} Inf(a_n)=2 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, ich habs soweit verstanden, danke an alle Helfer. Vorallem Stephan - deine Seite über die Beschränktheit war ebenfalls super smile

Wäre lieb, wenn sich jemand zu meiner Folgerung äußern könnte.

LG

05.08.2014, 22:29

Stephan Kulla

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@Snaff: Deine Argumentation ist perfekt und vollständig (insbesondere da du Sätze, die du aus der Vorlesung verwendest, nicht noch einmal beweisen musst). Was ich meinte, ist das du beweisen/zeigen musst, dass die Folge streng monoton fällt. Dies ergibt sich aber aus dem Beweis der Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \le a_n \end{eqnarray*}$ . Beachte, dass in der Kette der Ungleichungen die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \le a_n \end{eqnarray*}$ die letzte und nicht die erste Ungleichung ist (zum Finden der richtigen Ungleichungsumformungen geht man den umgekehrten Weg). Aber wie gesagt: Deine Argumentation ist richtig.

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