Differentialgleichung der 2. Ordnung

02.08.2014, 19:37

cecen31

Differentialgleichung der 2. Ordnung

Meine Frage:
Könnte jemand falls ich einen Fehler gemacht habe den korrigieren?

Meine Ideen:
Hallo ich habe versucht eine Differentialgleichung der 2ten Ordnung zu lösen ich weiss aber nicht wieweit ich die richtig aufgelöst habe, könnte jemand eventuell die Lösung durchgehen und nach Fehler suchen? Vielen Dank

02.08.2014, 20:27

grosserloewe

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RE: Differentialgleichung der 2. Ordnung
Wink

Hallo ,

könnte jemand eventuell die Lösung durchgehen und nach Fehler suchen?

ist schwer zu lesen , aber da die Störfunktion ein Produkt darstellt,
darfst Du nach dieser Methode nicht rechnen. Selbst wenn Du richtig rechnest, funktioniert das nur bei Summen als Störfunktion.

Dein Ergebnis stimmt leider nicht . Das kannst Du überprüfen , indem Du die Probe machst.

das Ganze ist etwas schwach zu lesen, Deine homogene Lösung stimmt.

Für die part. Lösung habe ich den Ansatz

$\begin{eqnarray*} y_{p} = a_{1} *e^{2x} +a_{2} *e^{2x} *x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} a_{1} = -\frac{2}{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2} =- \frac{7}{25} \end{eqnarray*}$

Du mußt Dein y1 und y2 miteinander multiplizieren, dann kommst Du auf meinen Ansatz

Dann leitest Du das Ganze 2 Mal ab, setzt das in die DGL ein und führst einen Koeffizientenvergleich durch . Zum Schluß setzt Du die Anfangswerte in die Lösung ein.

Zum Vergleich das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{71 e^{10x}-35 x e^{5x} -10e^{5x}+64 }{125 *e^{3x} } \end{eqnarray*}$

04.08.2014, 00:39

cecen31

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erstmal vielen Dank
vielen Dank erstmal für die Antwort dennoch habe ich ein anderes Ergebnis raus. Liegt es vielleicht daran dass sie nicht mit den Randbedingungen gerechnet haben? Ich hoffe beim etwas ranzoomen können sie es lesen ansonsten kann ich neu aufschreiben

04.08.2014, 09:02

klarsoweit

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RE: erstmal vielen Dank
Als Ansatz für die partikuläre Lösung wählst du $\begin{eqnarray*} y_p = a_1 \cdot e^{2x} + a_2 \cdot e^{2x} \cdot x \end{eqnarray*}$ .

Leider stimmen die Ableitungen davon nicht, da du nicht die Produktregel beachtet hast.

Ich schieb das mal in die Analysis.
Und wenn's eben geht, schreib deine Formeln mit Latex. So schwer ist das nicht und es macht die Sache für alle einfacher.

05.08.2014, 02:35

cecen31

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die gegebene Differentialgleichung war $\begin{eqnarray*} y" - 4y' - 21y = e^{2x} (2+7x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yp = a_{1} * e^{2x} + a_{2} * e^{2x} * x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'p= 2a_{1} * e^{2x} + 2a_{2} * x * e^{2x} + a_{2} * e^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''p= 4a_{1} * e^{2x} + 6a_{2} *e^{2x} \end{eqnarray*}$

wenn ich richtig abgeleitet habe dann kriege ich für $\begin{eqnarray*} a_{1} = -\frac{72}{725} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_{2} = -\frac{7}{29} \end{eqnarray*}$

05.08.2014, 06:58

grosserloewe

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die 1. Ableitung stimmt , aber nicht die 2. Ableitung.
Schau nochmal.

smile

06.08.2014, 01:25

cecen31

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danke
ok $\begin{eqnarray*} y'' p = 4a_{1} * e^{2x} + 4a_{2} * x * e^{2x} + 4a_{2} * e^{2x} \end{eqnarray*}$

jetzt komme ich auch bei a1 und a 2 auf das gleiche Ergebnis. Dennoch sieht es bei der speziellen Lösung etwas anders aus.

$\begin{eqnarray*} y= A1 * e^{7x} + A2 * e^{-3x} - \frac{2}{25} * e^{2x} - \frac{7}{25} * e^{2x} * x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'= 7A1 * e^{7x} - 3A2 * e^{-3x} - \frac{4}{25} * e^{2x} - (14*x+7) \frac{ e^{2x}}{25} \end{eqnarray*}$

Randbedingungen y(0) = 1 y'(0) =2

$\begin{eqnarray*} y= A1 + A2 - \frac{2}{25} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=7A1 - 3A2 - \frac{4}{25} = 2 \end{eqnarray*}$

Beim auflösen komme ich für $\begin{eqnarray*} A1 = \frac{27}{50} A2= \frac{27}{50} \end{eqnarray*}$

Dann sieht die allgemeine Lösung so aus

$\begin{eqnarray*} y= \frac{17}{25} * e^{7x} + \frac{17}{25} * e^{-3x} - \frac{2}{25} * e^{2x} - \frac{7}{25} * e^{2x} * x \end{eqnarray*}$

unglücklich