Prüfen ob 3 Punkte mit Parameter in Ebene liegen

03.08.2014, 19:04

lichkoenig

Prüfen ob 3 Punkte mit Parameter in Ebene liegen

Hi!
Komme bei einer Vergleichsweise einfachen Aufgabe nicht wirklich voran. Gegeben sind folgende 3 Punkte

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3a \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

man soll nun prüfen für welche (a,b) diese auf einer Ebene liegen. Mir fällt bis jetzt nur ein, eine Gerade aus 2 Punkten zu bilden und zu prüfen ob der 3. Punkt NICHT auf dieser liegt. Da bekomme ich bestimmte Werte für a und b heraus. Allerdings sagt die Lösung folgendes:

a=r
b=1/5(r²-4)

r beliebig

Wie komme ich drauf? Hammer

Grüße!

03.08.2014, 19:30

Helferlein

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Ist das die exakte Aufgabenstellung?
Drei Punkte liegen nämlich immer in einer Ebene, nur ist diese nicht unbedingt eindeutig. Wenn sie auf einer Geraden liegen, oder sogar identisch sind, dann gibt es natürlich unendlich viele Ebenen, in denen diese Punkte liegen.

Sollte es darum gehen, dass sie eine Ebene beschrieben, dann gilt das in der Tat nur für ein einziges Wertepaar nicht.

03.08.2014, 22:10

lichkoenig

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Ja das ist die Aufgabenstellung.

$\begin{eqnarray*} \ ~\overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ ~\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 3a \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für welche Paare (a,b) liegen $\begin{eqnarray*} \ ~\overrightarrow{a} , ~\overrightarrow{b} , ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$ in einer Ebene?

Dafür habe ich eine Gerade aus $\begin{eqnarray*} \ ~\overrightarrow{a} ~\overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$ gebildet und mit $\begin{eqnarray*} \ ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt. Durch die untere Zeile (z-Koordinate) konnte ich mir so den Parameter ausrechnen für den der Punkt auf der Geraden liegt und dann damit a und b ausrechnen. (a=-9)
Heraus kam auf keinen Fall die obige Lösung, die allerdings so im Buch angegeben ist.

03.08.2014, 23:54

RavenOnJ

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Zitat:

Original von lichkoenig

Für welche Paare (a,b) liegen $\begin{eqnarray*} \ ~\overrightarrow{a} , ~\overrightarrow{b} , ~\overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$ in einer Ebene?

Wenn du statt mit diesen Vektoren mit Punkten des $\begin{align*} \mathbb R^3 \end{align*}$ arbeitest, hättest du sagen müssen, "für welche a,b liegen die Punkte in einer Ebene durch den Ursprung?" oder algebraisch: "für welche a,b sind die Vektoren linear abhängig?" Letzteres könnte dir ein Hinweis sein, wie man die Aufgabe löst.

Noch ein Tipp: Die lineare Abhängigkeit der Vektoren führt zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Variablen $\begin{align*} x,y\text{ und }z \end{align*}$ , wobei die Vektoren $\begin{align*} \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \end{align*}$ die Koeffizientenmatrix bilden, die ich mal $\begin{align*} M \end{align*}$ nenne. Die drei Variablen kann man zu einem Vektor $\begin{align*} (x,y,z) \end{align*}$ zusammenfassen, auf den die Koeffizientenmatrix wirkt, was als Ergebnis - wegen der linearen Abhängigkeit von $\begin{align*} \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \end{align*}$ - den Nullvektor ergeben muss. Das heißt, die durch die Koeffizientenmatrix $\begin{align*} M \end{align*}$ vermittelte Abbildung muss einen nicht-trivialen Kern haben, was wiederum an deren Determinante eine bestimmte Bedingung stellt.

04.08.2014, 09:05

Leopold

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Die Aufgabe ist unsinnig gestellt.
Drei Punkte liegen immer in einer Ebene. Darauf hat Helferlein schon hingewiesen. Man könnte also höchstens fragen: Für welche $\begin{align*} a,b \end{align*}$ bestimmen die Punkte keine eindeutige Ebene? (Das ist für $\begin{align*} a = 21 \end{align*}$ und $\begin{align*} b = \frac{437}{5} \end{align*}$ der Fall.)

Die Lösung der Aufgabe deutet aber auf etwas ganz anderes hin. Daß nämlich gemeint ist: "Für welche $\begin{align*} a,b \end{align*}$ liegen die Vektoren (!) in einer Ebene?" Und das ist eine grottenschlechte Formulierung für "Für welche $\begin{align*} a,b \end{align*}$ sind die Vektoren (!) linear abhängig?"

In der (Schul-)Geometrie sollte man Punkte und Vektoren unterscheiden, wie es im Konzept des affinen Raumes vorgesehen ist. Der Punktraum besitzt keine algebraische Struktur (man kann also Punkte zum Beispiel nicht addieren), der Vektorraum schon. Auf der anderen Seite sind Vektoren keine Elemente oder Teilmengen des dreidimensionalen Punktraumes. Vektoren können also ihrer Natur nach weder irgendwo "liegen" noch kann man sie mit irgendetwas "schneiden", wie man es immer wieder hört. Der Zusammenhang zwischen Punkten und Vektoren wird über den Begriff des Ortsvektors hergestellt.

Mir ist bewußt, daß im Koordinatensystem sowohl Punkte als auch Vektoren durch reelle Zahlentripel beschrieben werden, also durch Elemente des $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ . Die Doppelgesichtigkeit eines Zahlentripels, sowohl die Rolle eines Punktes als auch die eines Vektors einnehmen zu können, führt dazu, die Begriffe auch inhaltlich zu verwischen. Bis zu einem gewissen Grad ist das ein natürlicher Vorgang, und "ältere Semester" oder Physiker gehen da ganz ungezwungen damit um. Im Unterbewußten ist ihnen klar, welche Rolle das Zahlentripel gerade spielt, und ob das Ding nun Punkt oder Vektor heißt, ist ihnen herzlich egal. Für die Schule oder für "jüngere Semester" ist diese Gleichsetzung aber gefährlich. Und nichts zeigt dies besser als die vorliegende Aufgabe mit ihren Konflikten.

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