Uneigentliches Integral sin(x)^2/x

05.08.2014, 19:22

Ulumabulu

Uneigentliches Integral sin(x)^2/x

Meine Frage:
Wie kann ich den Grenzwert des folgenden Uneigentlichen Integrals bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{\sin(x)^2}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich nun das(wenn sie divergiert)sie es tut?

Danke für eure Hilfe

Meine Ideen:
Da 1/x divergiert nehme ich an, dass dieses Integral auch divergiert.
Konnte jedoch keine Minorante finden. Ich komme mit dem Minoranten-/Majornaten-Kriterium nicht wirklich weiter.

05.08.2014, 19:42

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Da 1/x divergiert nehme ich an, dass dieses Integral auch divergiert.

Deine Vermutung ist korrekt.

Betrachte mal für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{(k+1)\pi} \frac{\sin^2(x)}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$ und teile dieses dann in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Teilintegrale mit gleicher Integrationslänge auf.

05.08.2014, 19:46

Ulumabulu

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Diese Idee hatte ich auch schon nur gibt es keine Stammfunktion von sin(x)^2/x (zumindest keine Elementare). Man müsste versuchen das Integral nach unten abzuschätzen, aber da bin ich auch schon wider am Ende.

05.08.2014, 19:51

Guppi12

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Zitat:

Man müsste versuchen das Integral nach unten abzuschätzen, aber da bin ich auch schon wider am Ende.

Da sind wir doch gerade dabei, aber wenn du nicht mitarbeitest wird das nichts Augenzwinkern

Wieso brauchen wir für diesen Ansatz eine Stammfunktion?

05.08.2014, 20:06

Ulumabulu

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Wäre praktisch(dachte ich)

also meintest du:

$\begin{eqnarray*} \int_{\pi*k}^{\pi(k+1)} \! \frac{\sin(x)^2}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Eine Abschätzung nach oben hätte Ich sofort(1/x)aber nach unten...

05.08.2014, 20:07

Guppi12

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Nein, ich meinte schon das, was ich geschrieben habe.

Du kannst das, was ich geschrieben habe aber als Summe von Integralen der Form, die du gerade angegeben hast schreiben. Tu das doch mal Augenzwinkern

06.08.2014, 10:18

Ulumabulu

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Ich glaube ich habe eine Abschätzungn gefunden.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(k+1)} \end{eqnarray*}$

Ich habe anstat der Funktion 1/x die konstante Funktion 1/pi(k+1) um das Integral auszuwerten. somit ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)^2}{x} \geq \frac{\sin(x)^2}{\pi(k+1)} \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} x\in \left[\pi*k;\pi*(k+1)\right] \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Somit haben wir dein Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^{\pi(k+1)} \! \frac{\sin(x)^2}{x} \, dx = \sum\limits_{n=1}^k \int_{\pi k}^{\pi(k+1)} \! \frac{\sin(x)^2}{x} \, dx \geq \sum\limits_{n=1}^k \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Hoffe Ich habe keinen Fehler gemacht. Nun denke ich ist klar, dass die Summe(und das Integral) divergieren wenn wir k nach unendlich streben lassen.

06.08.2014, 10:49

Guppi12

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Edit2: Habe ein paar Sachen in Zitate gepackt, die sich erübrigt haben, die brauchst du nicht zu beachten, siehe URL's Beitrag.

Ja, das ist bis auf Kleinigkeiten richtig, sehr schön Freude

, du hast nur einen kleinen Schreibfehler: hinter dem ersten Gleichheitszeichen müsste das Integral natürlich von $\begin{eqnarray*} n\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} (n+1)\pi \end{eqnarray*}$ gehen, also $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Außerdem kannst du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ nicht nach unten durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ abschätzen.

Einen Schritt müsstest du auch noch etwas begründen (vielleicht hast du das ja und hier nur nicht geschrieben, in dem Fall erübrigt sich diese Anmerkung) :

Warum ist $\begin{eqnarray*} \int_{\pi n}^{\pi (n+1)}\sin^2(x)\mathrm d x \geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

Zur Not kannst du das nun einfach ausrechnen. Oder aber du argumentierst, dass dieses Integral aufgrund von Periodizität nicht von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängt und somit als positive Konstante, die keinen Einfluss auf Divergenz oder Konvergenz der Reihe hat, aus der Summe herausgezogen werden kann.

Da du deinen Weg nun gefunden hast, hier noch eine Alternative. Diese setzt allerdings voraus, dass man schon etwas über das Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{\cos(x)}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$ weiß.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{\sin(x)^2}{x} \, dx = \int_1^\infty \frac{1-\cos(2x)}{2x}\mathrm dx= \int_1^\infty\frac{\mathrm dx}{2x}-\int_1^\infty \frac{\cos(2x)}{2x}\mathrm d x \end{eqnarray*}$

ist nicht existent, da Summe eines existenten und eines nicht existenten ungeigentlichen Riemann-Integrals.

Edit: kleiner Fehler korrigiert.

06.08.2014, 11:22

URL

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@Guppi12: Ich denke, Ulumabulu hat 1/pi nicht abgeschätzt, sondern den Wert des Integrals über sin^2, also pi/2, eingesetzt.
Wie sieht man die Existenz von $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{\cos(x)}{x}\mathrm dx \end{eqnarray*}$ ? Mir ist nur abschnittsweise Integration und dann Leibniz für die Reihe eingefallen. Geht das direkter?
Edit: Direkter im Sinne eines Kriteriums, das man direkt anwerfen kann

06.08.2014, 11:26

Guppi12

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Hallo URL,

ah, danke für den Hinweis!

Die Existenz des anderen Integrals sieht man sehr schnell mit partieller Integration (den Kosinus integrieren, 1/x ableiten) und dann Majorantenkriterium.

06.08.2014, 11:31

URL

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Wusste ich doch, dass ich mich gerade doof anstelle Hammer

Danke

06.08.2014, 11:37

Ulumabulu

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Wie URL schon bemerkte habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ nicht abgeschätz sonder das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \! \sin(x)^2 \, dx = \left[\frac{1}{2}x-\frac{\sin(2x)}{4} \right]_{n\pi}^{(n+1)\pi} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Und somit:
$\begin{eqnarray*} \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \! \frac{\sin(x)^2}{(n+1)\pi} \, dx = \frac{\pi}{2} * \frac{1}{\pi(n+1)} = \frac{1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

06.08.2014, 11:43

Ulumabulu

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Mein weg scheint mir gerade ziemlich umständlich. Das ich da nicht früher drauf gekommen bin. Wieder einmal viel zu weit gedacht^^

06.08.2014, 11:48

Guppi12

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Vergleichst du gerade mit meiner Alternative?

Ich finde deinen Weg eigentlich sehr schön. Für die Alternative muss man doch vorher schon genau wissen, wo man am Ende hin will. Wie soll man das machen, wenn man noch nicht den vollen Überblick über das Themengebiet hat. Außerdem setzt die Alternative ja auch mehr Vorwissen voraus (die Existenz des anderen Integrals).

06.08.2014, 12:57

Ulumabulu

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Ja. Du hast schon recht man braucht das Wissen über die anderen Integrale. Nur scheinen mir jene einfacher zu sein. 1/x divergiert und cos(x)/x kann man nach oben abschätzen(nach der partiellen Integration). Auf den Trick wäre ich allerdings nicht gekommen. Wieder was gelernt.

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