einfache Gruppe der Ordnung 168

06.08.2014, 15:14

Gnus

einfache Gruppe der Ordnung 168

Hi!

Kann mir jemand helfen:

Sei G eine einfache Gruppe der Ordnung 168.
Zeigen Sie, dass G genau 8 7-Sylow-Untergruppen hat und beweisen Sie, dass G keine Untergruppe der Ordnung 14 besitzt, indem Sie den Normalisator einer 7-Sylow-Untergruppe betrachten.

Ansatz:
Wegen $\begin{eqnarray*} 168=2^3*3*7 \end{eqnarray*}$ bleibt für $\begin{eqnarray*} n_7 \end{eqnarray*}$ nur 1 und 8 übrig. Da die Gruppe einfach ist, kann es 1 nicht sein. Also 8.

Sei also $\begin{eqnarray*} P\in Syl_7(G) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} 8=n_7=[G:N_G(P)]=\frac{|G|}{|N_G(P)|}=\frac{168}{|N_G(P)|} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |N_G(P)|=21 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie soll ich nun auf die Aussage kommen, dass es keine Untergruppe der Ordnung 14 geben kann?

MfG

06.08.2014, 15:50

jester.

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Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ eine 7-Sylow-Gruppe, und $\begin{eqnarray*} U\leq G \end{eqnarray*}$ von Ordnung 14. Dann hat $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ Index 2 in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ - Untergruppen vom Index 2 haben aber eine Eigenschaft, die hier im Widerspruch zu dem steht, was du gerade ausgerechnet hast.

06.08.2014, 16:28

Gnus

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1) Wieso weiß ich denn sicher, dass $\begin{eqnarray*} P \subset U \end{eqnarray*}$ gilt? U könnte doch auch aus Elementen der Ordnung 2 bestehen, ich habe ja nicht ausgeschlossen, dass es 7 2-Sylow-Untergruppen gibt.

2) Wenn der Index 2 ist, dann ist P normal in U. Also würde gelten $\begin{eqnarray*} P \unlhd U\leq G \end{eqnarray*}$ . Somit $\begin{eqnarray*} |N_U(P)|=|U|=14 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} N_U(P) \leq N_G(P) \end{eqnarray*}$ , müsste $\begin{eqnarray*} 14|21 \end{eqnarray*}$ gelten. Widerspruch.

So richtig?

06.08.2014, 17:35

jester.

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Zitat:

Original von Gnus
1) Wieso weiß ich denn sicher, dass $\begin{eqnarray*} P \subset U \end{eqnarray*}$ gilt? U könnte doch auch aus Elementen der Ordnung 2 bestehen, ich habe ja nicht ausgeschlossen, dass es 7 2-Sylow-Untergruppen gibt.

Es gilt doch, dass 7 $\begin{eqnarray*} |U| \end{eqnarray*}$ teilt, also enthält $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Element von Ordnung 7, also eine Untegruppe von Ordnung 7 und das ist natürlich eine 7-Sylowgruppe.
Wobei ich mich etwas ungenau oder falsch ausgedrückt habe: man kann nicht eine 7-Sylowgruppe fest wählen, dann eine (fiktive) Untergruppe der Ordnung 14 fest wählen und erwarten, dass die Sylowgruppe in der Gruppe der Ordnung 14 liegt. Richtig ist: hat $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ Ordnung 14, so enthält $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine 7-Sylowgruppe durch das gerade genannte Argument.

Zitat:

2) Wenn der Index 2 ist, dann ist P normal in U. Also würde gelten $\begin{eqnarray*} P \unlhd U\leq G \end{eqnarray*}$ . Somit $\begin{eqnarray*} |N_U(P)|=|U|=14 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} N_U(P) \leq N_G(P) \end{eqnarray*}$ , müsste $\begin{eqnarray*} 14|21 \end{eqnarray*}$ gelten. Widerspruch.

So richtig?

Ja.

07.08.2014, 08:41

Gnus

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RE: einfache Gruppe der Ordnung 168
jester., ich danke Dir! Habe es verstanden! Freude

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