Satz von Lagrange verstehen

08.08.2014, 21:18

TicTac20

Satz von Lagrange verstehen

Ich möchte den Beweis zur folgenden Aussage verstehen:

Sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G mit index d. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} x^n \in N \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man das Bild von x unter der Quotientenabbildung betrachten. Dies ist dann xN. G/N hat Ordnung d, also teilt jedes Element aus G/N die Zahl d. Das heißt doch, dass k:=ord(xN) | d. Wir schreiben km=d. Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} e=(xN)^k=x^kN=x^{\frac{d}{m}}N \end{eqnarray*}$ Wie kann ich nun folgern, dass m=1 ist? Dann hätte ich ja $\begin{eqnarray*} e=x^dN \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} x^d \in N \end{eqnarray*}$ implizieren würde.

Freue mich auf Antworten

08.08.2014, 21:19

TicTac20

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Edit: In der dritten Zeile soll es $\begin{eqnarray*} x^d \in N \end{eqnarray*}$ heißen.

08.08.2014, 22:03

Guppi12

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Hallo,

du würfelst da gerade eine Menge durcheinander.

Zitat:

also teilt jedes Element aus G/N die Zahl d

Das macht keinen Sinn, du meinst, dass die Ordnung eines jeden Elements aus G/N ein Teiler von d ist.

Auch das hier: $\begin{eqnarray*} e= (xN)^k \end{eqnarray*}$ macht nicht so viel Sinn. Gewöhnlich würde man bei dieser Ausgangssituation mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ bezeichnen. Wenn du damit das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ meinst, musst du das extra erwähnen. Außerdem ist das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , das kann man dann auch so schreiben.

Zitat:

Wie kann ich nun folgern, dass m=1 ist?

Garnicht, das stimmt nämlich i.A. nicht.

Betrachte statt $\begin{eqnarray*} (xN)^k \end{eqnarray*}$ lieber mal $\begin{eqnarray*} N = (xN)^d = ... \end{eqnarray*}$

Lg

09.08.2014, 02:24

TicTac20

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Hallo,

danke für die Antwort.

Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} N=(xN)^d=x^dN \end{eqnarray*}$ anfangen würde, würde ich dann nicht schon die zu zeigende Aussage verwenden?

Ich habe es nun so:

Sei $\begin{eqnarray*} k=ord(x) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} x^k=e \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x^kN=N \end{eqnarray*}$ (Gilt dann auch $\begin{eqnarray*} k=ord(xN) \end{eqnarray*}$ ? Ich würde sagen ja, da die Quotientenabbildung ein Homomorphismus ist). Da <xN> Untergruppe von G/N ist, teilt $\begin{eqnarray*} k=ord(xN) \end{eqnarray*}$ die Zahl d. Es ist also km=d für eine ganze Zahl m.

Wir folgern nun: $\begin{eqnarray*} N=(xN)^k \Rightarrow N=(xN)^k \circ (xN)^k \circ.... \circ (xN)^k \end{eqnarray*}$ (m mal)

Also $\begin{eqnarray*} N=(xN)^{km}=(xN)^d \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?

Wenn du einen besseren Weg hast, kannst du ihn mir gerne zeigen smile

09.08.2014, 09:07

Guppi12

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Zitat:

Wenn ich mit $\begin{eqnarray*} N=(xN)^d=x^dN \end{eqnarray*}$ anfangen würde, würde ich dann nicht schon die zu zeigende Aussage verwenden?

Nein, aber dazu später.

Zitat:

(Gilt dann auch $\begin{eqnarray*} k=ord(xN) \end{eqnarray*}$

Nein, betrachte N := G, du bekommst aber $\begin{eqnarray*} ord(xN) | k \end{eqnarray*}$ und das ist alles, was du in deiner Argumentation benutzt.

Ansonsten ist dein Weg so ok.

Nun zu der Anfangsfrage: G/N hat Ordnung d, nach dem Satz von Lagrange gilt also $\begin{eqnarray*} y^d = N \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y\in G/N \end{eqnarray*}$ (Element hoch Gruppenordnung ist immer das neutrale Element ). Insbesondere gilt deswegen $\begin{eqnarray*} N = (xN)^d \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} (xN) \end{eqnarray*}$ ist ja ein Element aus $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$

Du hast im Prinzip das gleiche gemacht und zusätzlich nochmal begründet, warum Element hoch Gruppenordnung immer das neutrale Element ist. Wenn ihr das wirklich noch nicht als Korollar aus Lagrange hattet, dann ist das gut so.

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