Äquivalenzklassen

12.08.2014, 06:32	Fauch16	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen Hallo, ich beschäftigte mich nun seit einer Weile mit Relationen, Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen. Leider passiert es mir immer wieder dass ich meine es kapiert zu haben und dann kommen neue Unklarheiten auf. Beispiel: $\begin{eqnarray} <br /> xRy \leftrightarrow <br /> \end{eqnarray}$ x ist durch y ganzzahlig teilbar für alle ganzen Zahlen Soll nun eine Äquivalenzrelation sein. Also gut, man prüft auf Reflexivität, Symmetrie und Transitivität: 1. Reflexivität: Jede Zahl ist durch sich selber ganzzahlig teilbar. (xRx) 2. Symmetrie Hier muss gelten: Für alle $\begin{eqnarray} x,y\in M \end{eqnarray}$ , für die $\begin{eqnarray} (x,y)\in R \end{eqnarray}$ gilt, ist auch $\begin{eqnarray} (y,x) \in R. \end{eqnarray}$ Hier scheitert es meiner Meinung nach schon: Beispielsweise ist 20/10 sicher ganzzahlig teilbar, aber 10/20 nicht. Oder bedeutet ganzzahlig teilbar in dem Fall nur "es gibt keinen Rest" ? 3. Transivität: Aus xRy und yRz muss immer auch xRz folgen, also beispielsweise: Aus 20/10 und 10/5 muss auch 20/5 folgen. 20/10 ist 2, 10/5 ist auch 2 und 2*2 ergibt 4, das gleiche wie 20/5 -> gilt hier. Die Frage hier ist, wie ich das für alle ganzen Zahlen zu Blatt bringen kann. ------------------ 4. Äquivalenzklassen Ich habe (denke ich) soweit verstanden, dass Äquivalenzklassen alle Elemente enthalten die zu einem bestimmten Element äquivalent sind. Im obigen Beispiel sollen die Äquivalenzklassen die Menge der geraden und ungeraden Zahlen sein. Wie genau bestimmt man das? Mir ist zwar irgendwie einsichtig dass eine ungerade Zahl nur durch eine ungerade Zahl ganzzahlig teilbar sein kann (z.B. 9/3), aber z.B. ist auch 18/3 ganzzahlig teilbar. Ich glaube ich habe hier im allgemeinen noch ein Verständnisproblem. Für jede Hilfe bin ich dankbar.
12.08.2014, 13:25	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in Deinem Beispiel hast Du eigentlich kein Verständnissproblem mit Äquivalenzklassen, sondern mit der Definition der Teilbarkeit. Wie kann man mathematisch ausdrücken, dass x durch y teilbar ist? Ich kann Dir aber gleich sagen, dass dabei keine Äquivalenzrelation herauskommt und daher gibt es auch keine Äquivalenzklassen.
12.08.2014, 14:36	Fauch16	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun ja, dass die oben genannte Relation eine Äquivalenzrelation ist/sein soll ist ja nicht auf meinem Mist gewachsen sondern steht so im Uni-Skript. Ich kopiere den Originaltext einfach mal hier rein, vielleicht verstehe ich ja auch was falsch. [Zitat aus Uni-Skript] Eine Relation R zwischen ganzen Zahlen wäre beispielsweise dieTeilbarkeitsrelation: xRy <--> x ist durch y ganzzahlig teilbar. Im nächsten Absatz: Beispielsweise teilt die oben genannte Teilbarkeitsrelation (dies ist eine Äquivalenzrelation) die Menge der ganzen Zahlen in genau zwei Äquivalenzklassen ein, nämlich die Menge der geraden Zahlen und der ungeraden Zahlen. [Zitat Ende] Unter "ganzzahlig teilbar" verstehe ich dass bei einer Division x/y eine ganze Zahl herauskommt, wie beispielsweise bei 20/10 = 2, aber nicht wie bei 10/20=0,5 ,was nach meinem Verständnis der Symmetrie für eine Äquivalenzrelation gegeben sein müsste. Kürzer ist veilleicht x modulo y = 0. Wenn du mir sagen kannst wo ich ansetzen kann, wäre ich dir sehr dankbar.
12.08.2014, 15:02	Hasgar	Auf diesen Beitrag antworten »
also gewöhnlich definiert man in Worten "x teilt y" bzw. in Zeichen $\begin{eqnarray} x \mid y :\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : x k = y \end{eqnarray}$ und mit dieser Definition würde ich auch ansetzen. Diese Relation ist aber definitiv nicht symmetrisch sondern sogar antisymmetrisch. Eine Äquivalenzrelation, die die ganzen Zahlen in 2 Äquivalenzklassen aufteilt, so wie Du es beschrieben hast, wäre z.B. $\begin{eqnarray} x \sim y \Leftrightarrow 2 \mid (y-x) \end{eqnarray}$ Vielleicht bist Du im Skript verrutscht oder hast etwas falsch abgeschrieben oder so.
12.08.2014, 15:12	Fauch16	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja nein, ich habe das Skript direkt vor mir und da ist auch nichts dazwischen worauf sich das beziehen könnte. Antisymmetrisch bedeutet ja in dem Fall dass aus xRy nur yRx folgt, wenn x=y gilt (Ich hoffe das ist soweit richtig). Würde auch bei x=y xRy nicht yRx folgen wäre die Relation asymmetrisch (soweit ich das begriffen habe), wobei jede asymmetrische Relation auch antisymmetrisch ist. (was aber hier nicht der Fall ist). Beim abschreiben vertan habe ich mich also nicht, Fehler im Skript sind natürlich nie auszuschließen. Ich werde an dieser Stelle meinen Professor befragen um den Sachverhalt zu verifizieren. Dankeschön schonmal.
12.08.2014, 15:41	Fauch16	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Nachfrage beim Prof: Fehler im Skript, gemeint war exakt die Relation die Hasgar angegeben hat: $\begin{eqnarray} <br /> x \sim y:\Leftrightarrow 2\|(y-x)<br /> \end{eqnarray}$ Danke nochmal und damit kann hier zu.
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