Punkt aus einem Koordinatensystem in ein anderes umrechnen

Neue Frage »

ostmob Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt aus einem Koordinatensystem in ein anderes umrechnen
Meine Frage:
Hallo Gemeinde smile

Ich habe 2 (rechtwinklige) Koordinatensysteme. Genau genommen ein Roboterkoordinatensystem(x,y,z) und ein ein "Bauteil" - Koordinatensystem (x,y) dass in der x,y Ebene vom Roboterkoordinatensystem liegt.
Also so gesehen habe ich 2 2D Koordinatensysteme. Das Bauteil-System hat eine andere Skalierung als das Robo-System. Beide Systeme sind auch nicht parallel zueinander (also die Achsen). Das heißt das Bauteil-System is gedreht.
Nun würde ich gerne wissen, was ich brauche um die Punkte vom BauteilSystem in das RoboSystem umzurechnen.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

Ich habe viel Recherche gemacht, komm aber noch nicht auf die richtige Lösung^^
Also ich glaube man muss eine Abbildung machen? Ich habe im gesamten System insgesamt 2 Punkte die mir in jedem Koordinatensystem bekannt sind.

reichen die 2 um eine affine Transformation zu machen?
Und wie ist dann der Ansatz um die Transformation durchzuführen? Ist halt schwer zu finden, weil ich nur in 2D Arbeiten will.

Hab das im Inet gefunden:
"
Bei einem angenommenen herkömmlichen Koordinatensystem:
x'=ax+by+c
y'=bx-ay+d

aus der Internetseite: http://msdn.microsoft.com/de-de/library/jj635757(v=vs.85).aspx
"

Das für die 2 Punkte würden 4 Gleichungen ergeben und 4 Unbekannte...kann man also lösen(a,b,c,d).

Aber sobald ich dann neue beliebige Punkte umrechnen will, haut das leider nicht mehr hin.
Hab ich einen Fehler im Ansatz, den ich selber nicht recht verstehe?^^


Gruß Tobi
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Koordinatentransformation in ein anderes Koordinatensystem, dass gedreht und/oder anders skaliert ist realisiert man durch eine lineare Abbildung (d.h. Matrixmultiplikation) und falls die Systeme verschiedene Ursprungskoordinaten haben, dann muss noch entsprechend ein Vektor dazuaddiert werden.

1. Hat Dein Bauteilsystem den gleichen Ursprung wie das Robosystem?
2. Verstehe ich es richtig, dass Du 2 Punkte gegeben hast, von dem Du die Koordinaten beider Systeme kennst?
 
 
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

Nein die haben nicht den gleichen Ursprung, also muss ein vektor dazuaddiert werden.
Und ja ich habe 2 Punkte die in beiden Systemen bekannt sind smile
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

naja dann hast Du denselben Fall wie bei dem Link von microsoft, den Du angegeben hast. Du kannst also analog vorgehen und a,b,c,d berechnen (am schnellsten numerisch mit Matlab, Maple, R usw.).

Die Zahlen c,d entsprechen der Verschiebung des Koordinatensystems und a,b,-b,a sind die Einträge der Matrix. Diese Einträge sind so speziell, weil es sich um eine Drehmatrix handelt, die die Drehung des Koordinatensystems ausführt. (nachzulesen z.B. auf http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix)
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

Okay aber laut deiner Drehmatrix aus wiki ( cos a,-sin a, sin a,cos a) müssten doch dann die Einträge der matrix folge aussehen: a,-b,b,a ( und nicht a,b,b,-a )

oder täusche ich mich da...mit -1 würde das nicht hinhauen^^
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, da habe ich nicht richtig hingeschaut. Das liegt daran, dass bei dem Beispiel von microsoft eine Spiegelung durchgeführt wird (nachzulesen z.B. auf http://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelungsmatrix).

Wenn Du Dir das grüne Koordinatensystem auf der Seite von microsoft anschaust, dann wirst Du feststellen, dass Du drehen/strecken kannst wie Du willst und Du erhälst nie das rote, weil x und y vertauscht ist.

Wahrscheinlich entsteht auch bei Deinem Robo- und Bauteilsystem an dieser Stelle ein Fehler. Dreht sich Dein Koordinatensystem nur oder wird es auch gespiegelt?
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

Haha erstmal danke fuer deine Hilfe smile
Ich verstehe langsam immer mehr haha
na am liebsten wäre mir es ja, wenn man das bauteil frei bewegen kann... also wäre auch das eine variable :/

Aber fuer den moment ist es so, dass die achsen x,y fast parallel zu dem roboter sind, nur dass x und y vertauscht sind. Also da wo die x-achse vom robo hinzeigt, zeigt die yachse des bauteils hin. Das wuerde mir fuers erste auch schon reichen, wenn das so klappt Gott
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

DAs wäre dann glaube ich eine Drehung um 90 grad und eine spiegelung? Big Laugh warum muss alles so kompliziert sein haha
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

okay.wenn ich die beiden matrizen von rotation und spiegelung mutlipliziere komme ich wieder auf q ,f, f, -q. also stimmt das schon iwie.

Haben die vllt eine skalierung vergessen? wuerde dass dann anders aussehen?
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

entschuldige die ganzen einzelnen antworten, aber ich kann nicht editieren..

ähm ich habe das nachgerechnet und eine skalierungmatrix dazu multipliziert. das wuerde nichts ändern, weil der skalierungsfaktor von x unx y der gleiche ist also waere die skalierungsmatrix : (s,0,s,0) (2x2) ...also nichts neues weil ja eh alles variablen sind
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Naja Du musst schon wissen, wie ungefähr Dein Koordinatensystem liegt, sonst reichen Dir die 2 Punkte nicht. Allgemein führt man ja so eine Transformation von 2D Koordinatensystem durch mit

wobei die Matrix A vier unbekannte Einträge hat und b zwei unbekannte Einträge hat. D.h. Du hast insgesamt 6 unbekannte Einträge. Dann reichen Dir Deine 2 Punkte nicht aus.

Jedoch reichen Dir 2 Punkte aus wenn Du weißt wie ungefähr transformiert wird:
Bei ner Drehung hast Du die Matrix a,-b,b,a
Bei ner Spiegelung an einer Ursprungsgeraden hast du a,b,b,-a
Bei Spiegelung und anschließender Drehung hast du wieder a,b,b,-a
Bei Drehung, Spiegelung und noch einer Drehung hast auch wieder a,b,b,-a.

Die Skalierung ändert nichts, wenn Du beide Achsen gleich skalierst. Bist Du sicher, dass Dein Koordinatensystem auch spiegelt? Wenn ja, wie entsteht denn dann Dein Fehler? Also wie erkennst Du dass das Ergebnis nicht stimmt? Vielleicht gibt es da einen Fehler.
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

Naja so sieht das ganze eig aus...hab mich mal bei paint probiert^^

Ich könnte zur not auch 3 Punkte nehmen und dann wäre das ja mit (a ,b;c,d) + (e;f) .
und gleichungssystem lösen aber das klapppt auch nicht. langsam glaube ich, der fehler liegt woanders. Aber ich hab ka wo....kann eig auch nicht sein.

Ähm ich merke das daran, wenn ich die bekannten bauteilpunkte umrechne in robo koordinaten dann stimmen diese überein. Aber sobald ich neue Punkte nehme und diese in robokoordinaten umrechne, kommen völlig wirre werte raus, die überhaupt nicht stimmen können. Viiiel zu groß oder zu klein usw.

:/
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Gib mir mal bitte die 2 Punkte und dann rechne ich selber mal nach
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rechne heut abend nach der Arbeit ein selbst konstruiertes Beispiel durch, dass so ähnlich aussieht wie Dein Fall und dann sehen wir obs stimmt. Hab das letzte Mal so eine Transformation vor über 5 Jahren durchgeführt und hab vielleicht auch einen Denkfehler drin.
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre ganz fantastisch smile smile

hier die Positionen:

(Robo): baseX1 := 180.655;
baseY1 := 351.335;
baseX2 := 247.049;
baseY2 := 380.713;
( baseX3 := 303.413;
baseY3 := 408.559; )


Bauteil: vbaseX1:= 68.766;
vbaseY1:= 48.781;
vbaseX2:= 257.975;
vbaseY2:= 138.443;
( vbaseX3:= 429.453;
vbaseY3:= 220.374; )

also online-gleichungslöser kommen auf komme auf :

matrix{1}:= 2.882901;
matrix{2}:= -0.07482823;
matrix{3}:= -425.7546;
matrix{4}:= -977.6010;
für a,b;b,-a

ich mit meinem roboterprogramm komme auf:

matrix{1}:= 1.88348;
matrix{2}:= 2.18386;
matrix{3}:= -1038.76;
matrix{4}:= 315.989;

Die Sache ist, wenn ich bei meinen Programm die vBasen eingebe, komme ich auf die richtigen Robo basen :/

Aaber wenn ich mal einen neuen Punkt von Bauteilkoord in Robokoord umrechnen will komme ich auf:

geg: vbaseNeu: X:380.775 Y: 95.5279

Lös: RobNeu X:263.59 Y: 422.677

Jedoch haut das nicht hin, da der Robo sich woanders als zum bauteil hin bewegt verwirrt verwirrt
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

Heeey.

Ich habe was neues rausgefunden^^

Wenn ich meine Daten benutze (nicht die online dinger) dann scheint es mir so, dass er die Punkte an einer Geraden(entlang der Basispunkte) spiegelt. ist mir gerade so aufgefallen.
Ich habs zur anschaulichung mal aufgemalt.

So wie kann man das jetzt lösen und woran liegt das? Big Laugh
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Sooo endlich Feiertag ^^
Also ich habe jetzt mal selber ein Beispiel konstruiert und die Rechnung hat bei mir funktioniert. Ich habe folgende Koordinatensysteme als Beispiel verwendet:

[attach]35163[/attach]

D.h. der Ursprung des roten Koordinatensystems ist im Punkt (-1,5) des blauen Koordinatensystems und die x,y-Achsen sind vertauscht so wie in Deinem Beispiel.

Ich hab jetzt eine analoge Rechnung durchgeführt wie vorgeschlagen (d.h. eine Matrix der Form a,b,b,-a gesucht) und hab als Ergebnis von Matlab folgendes erhalten:

[attach]35164[/attach]

D.h. für eine Koordinatentransformation vom blauen System ins rote muss ich nur den Punkt (Vektor) mit der Matrix M multiplizieren und danach den Vektor w dazuaddieren.

Dies hab ich an 5 verschiedenen Punkten getestet und habe immer die richtigen Koordinaten bekommen.

Ich probier jetzt nochmal den selben Spaß mit Deinem Beispiel aus und schau mal ob ich auf das selbe Ergebnis kommen wie Du.

edit: ich hab übrigens auch das rote Koordinatensystem mit einer anderen Skalierung (wurzel(2)) ausprobiert und das hat auch geklappt

Edit (mY+): Links zu externen Hosts entfernt, Dateien angehängt.
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

So hab Deine 2 Punkte verwendet und komme auf folgendes Ergebnis:

[attach]35165[/attach]

Probier Mal aus, ob das Ergebnis bei Dir passt.

Bei Deinen Lösungen fällt mir auf, dass die Matrizen gar nicht die Form a,b,b,-a haben...aber du suchst doch gerade a,b um dann eine Matrix der Form a,b,b,-a zu erhalten. Wie kommst Du denn auf Deine Matrizen?

Edit (mY+): Links zu externen Hosts entfernt, Dateien angehängt.
ostmob Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ich hab das alles nachgerechnet und komme auf das gleiche ergebnis wie du.

und heute hab ich auf arbeit nochmal kontrolliert uuund du hattest recht. Ich hab es iwie verpeilt mit der Form meiner Matrizen. Und dann hab ich auch noch zwischendrin die x,y Achse vom Bauteil mal geändert und nicht zurückgeändert.

Das Ende vom Lied: Es klappt jetzt ganz super smile Und der Roboter fährt die richtige position an...yeah Tanzen Tanzen

Also letzendlich kam es wirklich alles auf die falsche Matrixform zurück. Und jetzt hab ich auch alles verstanden run um das Thema Drehmatrizen und Koordinatentransformation smile

Ich danke dir ganz herzlich zur lösung meines Problems smile
Taragond Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön, ich habe leider gerade noch das gleiche Problem bei einer Grafik-Anwendung.

Ich habe ebenfalls anhand der Seite von microsoft versucht Koordinaten zu transformieren und habe auch bereits festgestellt, das auf Grund der gespiegelten y-Achse dieses Problem auftritt, dummerweise habe ich von Matritzenrechnung keine Ahnung und mir fehlt gerade leider das Wissen den symbolischen Kehrwert für eine Matrix zweier ungespiegelter Koordinatensysteme herzuleiten und ich habe ihn auch nirgendwo gefunden...ans Ende dieses Threads würde er aber ganz hervorragend passen Big Laugh

mfg, Thorsten

EDIT: hmmm... ich glaube ich hab zumindest schon mal gefunden wie ich den Kehrwert einer Matritze berechnen kann...(furchtbar, so lange raus aus dem Thema und dann erst nach und nach entdecken welche Suchbegriffe die richtigen sind für dein Problem Big Laugh
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Taragond
Sehr schön, ich habe leider gerade noch das gleiche Problem bei einer Grafik-Anwendung.

Ich habe ebenfalls anhand der Seite von microsoft versucht Koordinaten zu transformieren und habe auch bereits festgestellt, das auf Grund der gespiegelten y-Achse dieses Problem auftritt, dummerweise habe ich von Matritzenrechnung keine Ahnung und mir fehlt gerade leider das Wissen den symbolischen Kehrwert für eine Matrix zweier ungespiegelter Koordinatensysteme herzuleiten und ich habe ihn auch nirgendwo gefunden...ans Ende dieses Threads würde er aber ganz hervorragend passen Big Laugh

mfg, Thorsten

EDIT: hmmm... ich glaube ich hab zumindest schon mal gefunden wie ich den Kehrwert einer Matritze berechnen kann...(furchtbar, so lange raus aus dem Thema und dann erst nach und nach entdecken welche Suchbegriffe die richtigen sind für dein Problem Big Laugh


Ok, also versteh ich es richtig, dass in Deinem Fall ein Koordinatensystem nur gedreht/verschoben/gestreckt, aber nicht gespiegelt ist? In diesem Fall entspricht die Koordinatentransformation einer Multiplikation mit einer Drehmatrix und anschließender Addition eines Vektors.

Eine Drehmatrix (http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix) hat die Form

und dann musst noch einen Vektor addieren.

Die Koordinatentransformation von einem Vektor sieht also wie folgt aus:


Hier hast du 4 Unbekannte a,b,c,d und brauchst damit 4 Gleichungen um das Gleichungssystem zu lösen. Nehmen wir also 2 Punkte mit alten/neuen Koordinaten
und erhalten damit die 2 (bzw. 4) Gleichungen:



Das lässt sich auch in eine Gleichung umschreiben:


bzw.



Die Invertierung der Matrix kannst Du auf Papier oder einem beliebigen Computeralgebrasystem oder auf Seiten wie z.B. http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversematrix.htm durchführen.

Hinweis: Die große Matrix muss natürlich invertierbar sein, damit man so rechnen kann
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
Dateien (Grafiken) bitte an den Beitrag anhängen!
@Hasgar
Bitte hänge deine Grafiken an deinen jeweiligen Beitrag an, damit sie erhalten bleiben (!)
Links zu externen Hostern sind nicht erwünscht, denn sie sind kurzlebig.
Dazu gehören auch Files in den sogenannten Datenwolken (wie DropBox o.ä.), denn was passiert, wenn du deine Dateien daraus wieder entfernst?
Erraten, es entstehen sogenannte tote Links, und diese wollen wir hier nicht haben bzw. minimal halten.

Danke!

mY+
Taragond Auf diesen Beitrag antworten »

Hi und vielen Dank für die Antwort smile

Ja, genauer gesagt handelt es sich um ein gedrehtes Bild und dessen Ausgangsbild.

d.h.

Ich habe ein Bild vorliegen mit den Abmessungen x:y
ebenso einen Drehwinkel (um den Mittelpunkt des Bildes)

Daher kann ich mit sin/cos die Abmessungen des gedrehten Bildes bereits im voraus berechnen.
Ebenso welche Koordinaten die 4 Eckpunkte des Originals im zukünftigen Bild haben werden.

Auf der Basis der Microsoft-Seite und 2 dieser Eckpunkte hatte ich bereits eine Matrix erzeugt, habe jedoch Aufgrund der Spiegelung die gespiegelten Koordinaten der anderen 2 Punkte erhalten (logisch)

Nun habe ich nach diesen Informationen (www).cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/knowledge/teche23.html
eine weitere Matrix erzeugt welche ich selbst invertiert habe.

Ich hatte hier angenommen, dass ich einfach nicht -y1 und -y2 in spalte 1 Zeile 2 und 4 als Ausgang nehmen muss um nicht zu spiegeln, hat jedoch auch nicht funktioniert... (seltsamerweise sind die Ergebnisse in der inversen Matrix anders, a-d aber identisch mit der vorherigen Berechnung ala der Microsoft-Seite...

Jetzt sehe ich hier, dass statt der y-werte x1 und x2 einmal negiert werden? Ich bin grad etwas verwirrt... %/

Ich möchte halt vor dem drehen bereits berechnen können wo eine bestimmte Koordinate im zukünftigen Bild im ungedrehten liegt.

Gruss, Thorsten

PS: wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist die Grosse Matrix invertierbar, solange die Determinante !=0 ist!?

PPS: ups, ja, keine Ahnung wie ich die infos aus dem Link sonst hätte vermitteln können!?!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du warst auch nicht gemeint, sondern Hasgar.
---
Unter dem Beitragsfenster auf 'Dateianhänge' klicken, Datei hochladen, den angezeigten Link an beliebiger Stelle in den Beitrag einfügen.

mY+
Taragond Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe schon mal die identische Matrix auf der arndt-bruenner(.)de berechnen lassen und dieselben Werte bekommen, d.h. mein script hierfür funktioniert schon mal.

Jetzt stellt sich mir nur noch die Frage, was ich falsch machen könnte um damit die Koordinaten korrekt zu transformieren... unglücklich

Um eine Koordinate des Ursprungs-System im gedrehten zu errechnen verwende ich:
x = ( ax' + by' - bd -ac ) / ( a² + b² )
y = ( bx' - ay' - bc +ad ) / ( a² + b² )

um Vom World-System die entsprechende Koordinate im Ursprungsbild zu errechnen:
x' = ax + by +c
y' = bx - ay + d

mfg, Thorsten
______________________________

sollte eigentlich noch ein edit werden...

Seltsamerweise (für jmd wie mich) wenn ich die Ursprungsmatrix so einstelle wie überall beschrieben
x1 y1 1 0
-y1 x1 0 1
x2 y2 1 0
-y2 x2 0 1
werden die 2 Punkte die verwendet habe richtig errechnet, die anderen 2 aber nicht (habe 2 ecken des Ursprungsbildes im gedrehten für die Matrix verwendet und die anderen zum testen verwendet)

nehme ich die obere und untere rechte Ecke für die Matrix, dann ist das entstehende Rechteck an der Geraden durch die Matrix-Punkte gespiegelt.

nehme ich die obere rechte und untere linke Ecke für die Matrix, dann scheint das irgendwie gedreht und gespiegelt zu werden!?!

verwende ich die Matrix:
x1 y1 1 0
y1 -x1 0 1
x2 y2 1 0
y2 -x2 0 1

wird keiner der Punkte richtig berechnet, nicht einmal die, welche die Matrix gebildet haben...

Edit (mY+): Beiträge zusammengefügt.
Taragond Auf diesen Beitrag antworten »

allllsooo gut...

nur zur info, ich hab jetzt einfach für die Matrix so getan als ob das Bild-Koordinatensystem an der X-Achse gespiegelt ist. So brauche ich im anschluss nur die errechnete y-Koordinate von der Höhe subtrahieren und habe die korrekten Koordinaten.

Würde mich aber ggfs noch interessieren ob es da eine spezielle Matrix für gibt, oder der Ansatz von vorneherein anders angegangen werden sollte xD

viele Grüße
Thomas Brendel Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatensystem-Transformation
Hallo,

ich war auch auf der Suche nach Formeln für eine Koordinatensystemtransformation; dachte eigentlich, das sei im Zeitalter von GPS eine triviale Fragestellung mit x-tausend Hits in google, aber weit gefehlt.
Auf diesem Forum habe ich die nützlichsten Hinweise gefunden, hätte mir aber eine ready-to-use = copy'n'paste Lösung gewünscht.
Also habe ich mich selbst hingesetzt und gerechnet. Hier meine Lösung :

Wenn es 3 Punkte gibt, deren Koordinaten in beiden 2-dimensionalen K-Systemen "w" und "z" bekannt sind, dann lautet die Umrechnungsanweisung:

x_z = x_w * M1 + y_w * M3 + M5
y_z = x_w * M2 + y_w * M4 + M6

mit

z1 = z_x(Punkt 1) w1 = w_x(Punkt 1)
z2 = z_y(Punkt 1) w2 = w_y(Punkt 1)
z3 = z_x(Punkt 2) w3 = w_x(Punkt 2)
z4 = z_y(Punkt 2) w4 = w_y(Punkt 2)
z5 = z_x(Punkt 3) w5 = w_x(Punkt 3)
z6 = z_y(Punkt 3) w6 = w_y(Punkt 3)

und

M1= (z1-(((z5-z1*w5/w1)-(z3-z1*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1)))-w2*(((z3-z1*w3/w1)-(1-w3/w1)*(((z5-z1*w5/w1)-(z3-z1*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))))/(w4-w2*w3/w1)))/w1
M2= (z2-(((z6-z2*w5/w1)-(z4-z2*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1)))-w2*(((z4-z2*w3/w1)-(1-w3/w1)*(((z6-z2*w5/w1)-(z4-z2*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))))/(w4-w2*w3/w1)))/w1
M3= ((z3-z1*w3/w1)-(1-w3/w1)*(((z5-z1*w5/w1)-(z3-z1*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))))/(w4-w2*w3/w1)
M4= ((z4-z2*w3/w1)-(1-w3/w1)*(((z6-z2*w5/w1)-(z4-z2*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))))/(w4-w2*w3/w1)
M5= ((z5-z1*w5/w1)-(z3-z1*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))
M6= ((z6-z2*w5/w1)-(z4-z2*w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))/((1-w5/w1)-(1-w3/w1)*(w6-w2*w5/w1)/(w4-w2*w3/w1))

das Ganze nochmals in Index-Schreibweise:

M(1)=(z(1)-(((z(5)-z(1)*w(5)/w(1))-(z(3)-z(1)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1))))-w(2)*(((z(3)-z(1)*w(3)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(((z(5)-z(1)*w(5)/w(1))-(z(3)-z(1)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1))))/w(1)

M(2)=(z(2)-(((z(6)-z(2)*w(5)/w(1))-(z(4)-z(2)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1))))-w(2)*(((z(4)-z(2)*w(3)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(((z(6)-z(2)*w(5)/w(1))-(z(4)-z(2)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1))))/w(1)

M(3)=((z(3)-z(1)*w(3)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(((z(5)-z(1)*w(5)/w(1))-(z(3)-z(1)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1))

M(4)=((z(4)-z(2)*w(3)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(((z(6)-z(2)*w(5)/w(1))-(z(4)-z(2)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1))

M(5)=((z(5)-z(1)*w(5)/w(1))-(z(3)-z(1)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))

M(6)=((z(6)-z(2)*w(5)/w(1))-(z(4)-z(2)*w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))/(((1)-w(5)/w(1))-((1)-w(3)/w(1))*(w(6)-w(2)*w(5)/w(1))/(w(4)-w(2)*w(3)/w(1)))


Vielleicht findet es ja irgendjemand hilfreich.

Grüße,
Thomas
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »