Logarithmische Gleichung was mache ich falsch?

13.08.2014, 22:48

moloch

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Logarithmische Gleichung was mache ich falsch?

Hallo Leute ich habe hier eine Logarithmengleichung bei welcher ich einfach nicht auf die vorgegebene Lösung komme, wahrscheinlich habe ich wieder eine Regel verlernt ( ich bin gerade dabei meine Mathekenntnisse nach ~2 Jahren wieder aufzufrischen)

Ich schätze mal das schon mein Ansatz irgendwo fehler hat aber ok hier nun die Aufgabe und mein Rechenweg:

PS: Lösung = 4

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}lg\left(15x+ 2\sqrt{x^{2}- 5x + 8 } \right) = 0.60206<br /> <br /> \Rightarrow lg\left(15x+ 2\sqrt{x^{2}- 5x + 8 } \right) = 1.80618<br /> <br /> \Rightarrow 15x+ 2 \left(x^{2}- 5x + 8\right)^{\frac{1}{2} } = 10^{1.80618} \end{eqnarray*}$ und dan Quadriieren? ...ich habe keine Ahnung und die Formelsamlung hilft mir auch nicht, ich verstehe es einfach nicht :/.

Wie würdet ihr anfangen?

13.08.2014, 22:55

Gast11022013

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Gehe nach dem selben Prinzip vor wie bisher.
Nicht direkt quadrieren. Die "Umkehrfunktion" des 10er Logarithmus wendest du ja auch erst an wenn er alleine steht.
Auch quadrieren solltest du erst nachdem du die Wurzel isoliert hast.

13.08.2014, 23:02

moloch

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Also lg nicht auflösen und versuchen die Wurzel Auszuklammern?

13.08.2014, 23:05

Gast11022013

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Doch, natürlich den lg auflösen.
Deine Rechnung ist ja bisher auch richtig. Fahre so weiter fort.

Bei solchen Umformungen muss man aber auch immer auf den Definitionsbereich achten, weil Scheinlösungen entstehen können.

14.08.2014, 01:07

RavenOnJ

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RE: Logarithmische Gleichung was mache ich falsch?

Zitat:

Original von moloch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}lg\left(15x+ 2\sqrt{x^{2}- 5x + 8 } \right) = 0.60206 \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist es dir nicht aufgefallen, aber $\begin{eqnarray*} \log_{10} 4 \approx 0.60206\Rightarrow \log_{10}\left(15x+ 2\sqrt{x^{2}- 5x + 8 } \right)\approx 3\log_{10} 4 = \log_{10} 64 \end{eqnarray*}$

14.08.2014, 10:17

moloch

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@Gmasterflash gut smile

smile

@RavenOnJ

Big Laugh

ist mir wirklich nicht aufgefallen

PS: So werde jetzt mal veruchen die Gleichung zu lösen.

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14.08.2014, 10:39

moloch

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So ok bekomme nun die Lösung 4 und 4.59728507 jetzt muss man doch normalerweise die Lösungen einfach einsetzen um zu sehen welche wahr sind? oder ? L = 4 ist vorgegeben und das stimmt ja auch mit meiner ersten lösung überein.

PS: Ah ich muss noch den Definitonsbereich bestimmen richtig?

14.08.2014, 11:22

RavenOnJ

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Deine 2. Lösung kann nicht stimmen, da bekommt mein Haskell-Interpreter 0.622917817088762 raus.

Man setzt nur ein, um eine Rechnung zu überprüfen, nicht als Entscheidungshilfe zwischen mehreren Alternativen.

14.08.2014, 17:17

moloch

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Mein restlicher rechenweg ......ich verstehe die logarithmen einfach nicht böse

böse

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 15x + 2 \sqrt{x²-5x+8} = 64<br /> \Rightarrow 2\sqrt{x²-5x+8} = 64-15x<br /> \Rightarrow 4(x²-5x+8) = (64-15x)²<br /> \Rightarrow 4x²-20x+32 = 225x²-1920x+4096<br /> \Rightarrow 221x²-1990x+4064 = 0<br /> \Rightarrow X1,2 = 1900 +/- \sqrt{(1900)²-3592576} \end{eqnarray*}$ = flasch

Hey leute ich habe gleich noch eine Gleichung wo ich nicht weiter komme.

2{\left(lgx\right)}² - lgx^{17} + 36 = 0

\Rightarrow lg²x + lg²x - lgx^{17} + 36 = 0

\Rightarrow 36 = lgx^{17} - (lg(lgx) + lg(lgx))

\Rightarrow 10^{36} = x^{17} -lgx² und jetzt ??

14.08.2014, 17:21

moloch

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Mein restlicher rechenweg ......ich verstehe die logarithmen einfach nicht böse

böse

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 15x + 2 \sqrt{x²-5x+8} = 64<br /> \Rightarrow 2\sqrt{x²-5x+8} = 64-15x<br /> \Rightarrow 4(x²-5x+8) = (64-15x)²<br /> \Rightarrow 4x²-20x+32 = 225x²-1920x+4096<br /> \Rightarrow 221x²-1990x+4064 = 0<br /> \Rightarrow X1,2 = \frac{1900 +/- \sqrt{(1900)²-3592576}}{442} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe komme ich auch nicht weiter .........

$\begin{eqnarray*} 2{\left(lgx\right)}² - lgx^{17} + 36 = 0<br /> <br /> \Rightarrow lg²x + lg²x - lgx^{17} + 36 = 0<br /> <br /> \Rightarrow 36 = lgx^{17} - (lg(lgx) + lg(lgx))<br /> <br /> \Rightarrow 10^{36} = x^{17} -lgx² \end{eqnarray*}$ und jetzt ??

PS: Sorry für den doppelt post

14.08.2014, 17:34

adiutor62

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$\begin{eqnarray*} lgx^{17}=17*lgx \end{eqnarray*}$

Substituiere: $\begin{eqnarray*} lgx = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2z^2+17z+36=0 \end{eqnarray*}$

14.08.2014, 18:11

moloch

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aaaaa

Big Laugh

ich hatte das auch schon Probiert und mich gewundert warum 4 und 4.5 rauskommt .........ich hab vergessen zurück zu substituieren.

PS: Ist der Rechenweg meiner ersten Aufgabe richtig ?

Danke an alle die mir bis jetzt geholfen haben: Vielen vielen dank smile

smile

Freude

14.08.2014, 18:19

adiutor62

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Dein letzter Rechenweg ist OK. Freude

Freude

14.08.2014, 22:17

RavenOnJ

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Zitat:

Original von moloch
....ich verstehe die logarithmen einfach nicht böse

böse

unglücklich

Du musst Logarithmen gar nicht verstehen, wenn du eine Gleichung
$\begin{eqnarray*} \log f(x)=\log g(x) \end{eqnarray*}$ hast. Daraus folgt wegen der strengen Monotonie der Log-Funktion (und nur deswegen! Mach dir das klar.) einfach $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ . Da ich ja $\begin{eqnarray*} 3\log 4 = \log 64 \end{eqnarray*}$ schon umgewandelt hatte, hättest du das einfach benutzen können ohne dir groß einen Kopf um die Logarithmen zu machen.

15.08.2014, 00:15

RavenOnJ

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Zitat:

Original von moloch

$\begin{eqnarray*} 2{\left(\log x\right)}^2 - \log x^{17} + 36 = 0<br /> <br /> \Rightarrow \log ^2 x + \log ^2 x - \log x^{17} + 36 = 0<br /> <br /> \Rightarrow 36 = \log x^{17} {\color{red}- (\log (\log x) + \log (\log x))}<br /> <br /> {\color{red}\Rightarrow 10^{36} = x^{17} -\log x^2 } \end{eqnarray*}$

Was soll denn das? Das ist einfach falsch.
$\begin{eqnarray*} \log (\log x) \not={\left(\log x\right)}^2 \not= \log x^2 \end{eqnarray*}$

15.08.2014, 16:19

moloch

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Wie kann man log²x denn noch schreiben? so? : (log*log)x ?

Ich meinte eigentlich ob der Rechenweg zu meiner Ersten aufgabe richtig ist ?

Die Zweite konnte man ja nur mit Substituion lösen.

15.08.2014, 16:40

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} \log^2(x) \end{eqnarray*}$ bedeutet nicht, dass der Logarithmus doppelt vorkommt, oder man zwei mal den Logarithmus von x nimmt.
Das Quadrat tut genau das was es sonst auch tut. Es quadriert den gesamten Ausdruck.

$\begin{eqnarray*} \log^2(x)=(\log(x))^2 \end{eqnarray*}$

Es ist nur eine andere Schreibweise.

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