Äquivalenzklassen/Gruppen

14.08.2014, 19:29

Victoria111

Äquivalenzklassen/Gruppen

Meine Frage:
Moin moin,

ich beschäftige mich grad mit dem Thema "Gruppen". Einen Teil der Lösung von einer Aufgabe kann ich aber nicht ganz verstehen. Zuerst die Aufgabe:

Es sei (G,+) eine kommutative Gruppe und U eine Untergruppe von G.
Man zeige, dass durch x~y <=> (x-y) aus U eine Äquivalenzrelation auf G definiert wird und x+U := {x+u | u aus U} die Äquivalenzklassen von ~ sind.

Ich habe gezeigt, dass ~ eine Äq.Relation ist, und meine Lösung stimmt mit der Musterlösung überein. Ich weiß aber nicht, wie ich den 2.Teil der Aufgabe lösen kann. Ich hab danach in der Musterlösung geguckt und da steht folgendes (der Anfang):
Eine Äq.Klasse [x] besteht aus allen Elementen y mit x~y. (Das ist klar)
D.h. y aus [x] gilt genau dann, wenn (y-x) aus U ist.
Diesen Schritt kann ich aber nicht nachvollziehen. Wie kann man von der ersten auf die zweite Zeile kommen? Da steht ja, dass (y-x) aus U ist, was äquivalent zu y~x ist. Das folgt aber nicht aus der ersten Zeile. Das könnte daraus folgen, dass ~ eine Äq.Relation ist, d.h. sie ist insbesondere symmetrisch <=> aus x~y folgt y~x. Aber iwie bin ich mir nicht sicher, ob es richtig ist.
Hätte jemand ne Erklärung für mich? Wäre euch sehr dankbar smile

Liebe Grüße,
Victoria

Meine Ideen:
s.o.

14.08.2014, 21:22

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzklassen/Gruppen

Zitat:

Original von Victoria111
Das könnte daraus folgen, dass ~ eine Äq.Relation ist, d.h. sie ist insbesondere symmetrisch <=> aus x~y folgt y~x.

Hier hast du es dir selbst schon beantwortet. Wenn $\begin{eqnarray*} y\in[x] \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das $\begin{eqnarray*} x\sim y \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y\sim x \end{eqnarray*}$ – diese beiden Aussagen sind äquivalent, da $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist.

Du könntest auch gleich

Zitat:

Eine Äq.Klasse [x] besteht aus allen Elementen y mit y~x.

schreiben.

15.08.2014, 00:59

Victoria111

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzklassen/Gruppen
Hallo,

danke für deine Antwort!
Naja, mich hat der Ausdruck "d.h." am Anfang des zweiten Satzes verwirrt, weil er noralerweise zu bedeuten hat, dass die zweite Aussage aus der ersten folgt, was hier aber nicht der Fall ist.

Ich hätte noch eine Frage:
In dieser Aufgabe wären x-U := {x-u | u aus U} auch die Äquivalenzklassen von ~, oder?

Liebe Grüße,
Victoria111

15.08.2014, 01:04

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzklassen/Gruppen

Zitat:

Original von Victoria111
Naja, mich hat der Ausdruck "d.h." am Anfang des zweiten Satzes verwirrt, weil er noralerweise zu bedeuten hat, dass die zweite Aussage aus der ersten folgt, was hier aber nicht der Fall ist.

Doch, das ist der Fall.

Zitat:

In dieser Aufgabe wären x-U := {x-u | u aus U} auch die Äquivalenzklassen von ~, oder?

Ja, da $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist, lässt sich $\begin{eqnarray*} x-U=x+U \end{eqnarray*}$ zeigen. (probier das vielleicht mal)

15.08.2014, 01:19

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzklassen/Gruppen

Zitat:

Original von Victoria111
Ich hätte noch eine Frage:
In dieser Aufgabe wären x-U := {x-u | u aus U} auch die Äquivalenzklassen von ~, oder?

Die Frage ist, was x-u bedeutet. Es ist auf U erst mal nur die Operation + definiert. Naheliegend ist also -u als das inverse Element zu u zu definieren. Dann ist aber
x-u=x+(-u) und damit $\begin{eqnarray*} x-U := \{x-u | u \in U\}= \{x+(-u) | u \in U\} = x + U \end{eqnarray*}$ , da mit jedem Element $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} -u\in U \end{eqnarray*}$ .

Edit: Sorry, Che. Hatte nicht gesehen, dass du schon geantwortet hast.

16.08.2014, 13:17

Victoria111

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank für eure Antwroten! smile

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzklassen/Gruppen

Verwandte Themen