Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)

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telli Auf diesen Beitrag antworten »
Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Meine Frage:
Hallo,

Hier die Frage:
[attach]35134[/attach]
Es soll gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit aller Schnitte ebenfalls 1 gibt.

Meine Ideen:
Nun A_i soll ja irgendeine Folge von Mengen sein (für die ja nicht zwingend "A_i Teilmenge von A_i+1" gelten soll) die können alles mögliche enthalten.. gut.

Die Wahrscheinlichkeit soll für alle "i element N" 1 sein. (N für natürliche Zahlen)
Ich definiere "a und b element N" so muss ja nach der Definition gelten, dass "A_a schnitt A_b für alle a und b" eine Menge an Ereignissen ergibt, deren Wahrscheinlichket 0 ist. Also formal:

P(A_a schnitt A_b) = 0

wie kommt es, dass die Schnittmenge aller A_i's das sichere Ereignis P=1 liefert? :/

Danke!
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Zitat:
Original von telli
Ich definiere "a und b element N" so muss ja nach der Definition gelten, dass "A_a schnitt A_b für alle a und b" eine Menge an Ereignissen ergibt, deren Wahrscheinlichket 0 ist. Also formal:

P(A_a schnitt A_b) = 0

Bekommst du das so hin, dass beide Mengen einzeln unter P jeweils Wahrscheinlichkeit 1 haben?

Zunächst fehlt hier ein ganzer Haufen an Genauigkeit. P wird wohl ein W'maß sein. Woher, d.h. aus welchem Grundraum kommen die A_i?

Aber sind die Voraussetzungen die gängigen, kannst du das mit ganz grundlegenden Mitteln lösen. Stichworte: Komplement bilden, de Morgan anwenden und -Subadditivität nutzen.
telli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Zitat:
Bekommst du das so hin, dass beide Mengen einzeln unter P jeweils Wahrscheinlichkeit 1 haben?

Ja durch herumbasteln komme ich schon an die Lösung. Ich verstehe aber den Sinn nicht. Für mich ist das ein Widerspruch. Wie können die Nullmengen zu einer Wahrscheinlichkeit "1" führen? wenn jede Schnittmenge P = 0 liefert?

P[schnitt A_i] ist doch die Schnittmenge aller A_i ? wenn P[A_a schnitt A_b] = 0 ist dann gilt ja folglich P[A_1 n A_2 n A_3 n ....] = 0 ? im schlimmsten Fall gibt es ja sogar ein i für die gilt "A_j schnitt A_i = leere Menge" ?

Kannst du mir diesen "scheinbaren" Widerspruch erklären?
telli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Kann es sein, dass da zwingend gelten muss:
für n gegen unendlich?
Denn es muss ja auch gelten:

oder ?
dann wäre es für mich sinnvoll:/ offen bliebe aber ob eine Mengenfolge immer so definiert sein muss? ich dachte die Mengen müssten nicht unbedingt Teilmengen voneinander sein und könnten alles mögliche sein...
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Zitat:
Kann es sein, dass da zwingend gelten muss: für n gegen unendlich?


Selbst wenn man die ordnen würde, stimmt das im Allgemeinen nicht.



Aus

folgt:

(warum?)


Dann folgt




Gruß
telli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Hallo h4mmer,

Zitat:
Aus

folgt:


Da bin ich skeptisch. Woher willst du wissen ob alle A_i identisch sind? Angenommen eine Menge enthalte die Elemente KOPF, ZAHL, SENKRECHT. Dabei soll man einen Münzwurf betrachten. Die diskreten Wahrscheinlichkeiten seien:

P(KOPF) = 0.5
P(ZAHL) = 0.5
P(SENKRECHT) = 0

ich definiere: A_1 := {KOPF, ZAHL} und A_2:= {KOPF, ZAHL, SENKRECHT}

Dann gilt: P(A_1) = P(A_2) = 1
aber: A_1 ungleich A_2
 
 
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Zitat:
Woher willst du wissen ob alle A_i identisch sind?


Das habe ich nie behauptet.


Du musst dir mal anschauen, was
Zitat:
denn bedeutet.

(Das steht übrigends auch in der Aufgabenüberschrift.)



Dein Beispiel ist sehr gut, da kann man sich klarmachen, was fast-sichere Gleichheit bedeutet.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullmengen (Wahrscheinlichkeitstheorie)
Geh doch übers Komplement. Wenn , dann ist . Jetzt zeige, dass die Vereinigung aller dieser Komplemente auch Wahrscheinlichkeit 0 hat. Dann berücksichtige De Morgan: .

Edit: Stell dir zum Beispiel als Gesamtmenge die reellen Zahlen im Intervall [0,10] vor mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte. Wähle die so, dass sie das gesamte Intervall sind bis auf abzählbare viele Punkte, endlich oder unendlich viele, also das gesamte Intervall minus einer Nullmenge. Du hast (überabzählbar) unendlich viele Möglichkeiten die zu wählen. Wesentlich ist allerdings hier, dass du nur eine abzählbare Menge an auswählst, sonst klappt's nicht.
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten.

Hallo Raven,
Zitat:
Geh doch übers Komplement


Das habe ich auch so gemacht. Mit dem Formalismus habe ich kein Problem nur mit dem Verständnis.

Die Kernfrage bleibt immer noch ob:

das zwingend gelten muss damit die Aussage stimmt d.h. ob das eine notwendige Bedingung ist. Denn dann wäre es für mich selbstverständlich.
h4mmer meint aber, dass das nicht unbedingt gelten muss.

Meine andere Frage ist: Ist unter einer Mengenfolge immer "Teilmengen voneinander" zu verstehen? oder "irgendwelche Mengen"?

laut wiki ist z.B. I_i = [i,...,i^2] für i element N auch eine Mengenfolge für die aber offensichtlich I_1 = [1] und I_2 = [2,3,4] und somit "I_1 keine Teilmenge von I_2" gilt.

Ich bin mir aber (fast) sicher im Skript gesehen zu haben, dass A_i's als Teilmengen voneinander definiert wurden.
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von telli
Das habe ich auch so gemacht. Mit dem Formalismus habe ich kein Problem nur mit dem Verständnis.

Wenn du es formal korrekt bewiesen hast, und dabei als Voraussetzung keine Beziehung der Mengen untereinander benötigt hast, dann braucht man eine solche Bedingung offenbar nicht. Daher verstehe ich das Problem nicht ganz. Vielleicht wäre es sinnvoll, wenn du deinen Beweis mal zeigst.
Zitat:
Original von telli
Die Kernfrage bleibt immer noch ob:

das zwingend gelten muss damit die Aussage stimmt d.h. ob das eine notwendige Bedingung ist. Denn dann wäre es für mich selbstverständlich.
h4mmer meint aber, dass das nicht unbedingt gelten muss.

Es muss auch nicht unbedingt gelten, der Beweis geht wie gesagt auch ohne diese Bedingung durch.
Zitat:
Original von telli
Meine andere Frage ist: Ist unter einer Mengenfolge immer "Teilmengen voneinander" zu verstehen? oder "irgendwelche Mengen"?

Irgendwelche Mengen. Das ist so wie bei allen möglichen Folgen auch. Teilmengen-/Obermengenbeziehungen sind dann spezielle Eigenschaften solcher Folgen.
Zitat:
Original von telli
Ich bin mir aber (fast) sicher im Skript gesehen zu haben, dass A_i's als Teilmengen voneinander definiert wurden.

Vermutlich in einem anderen Zusammenhang, denn es gibt Aussagen, die eine solche Voraussetzung benötigen. Schlag das am besten noch mal genau nach.
h4mmer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das habe ich auch so gemacht.


Super smile . Ich kann dir noch meine Ansatz zeigen, vielleicht wird es dir dann klar.




Sei also .

Man kann also jedes als disjunkte Vereinigung einer Menge und einer Nullmenge darstellen.




Es folgt also:




Gruß
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von telli


Ich bin mir aber (fast) sicher im Skript gesehen zu haben, dass A_i's als Teilmengen voneinander definiert wurden.


Ganz bestimmt nicht oder du verwechselst was. Nach dem, was ich geschrieben hatte, solltest du erkennen können, dass es nicht notwendig ist, dass die eine Teilmengenbeziehung haben.

Du musst dich vermutlich von Vorstellungen in Bezug auf Mengen, die endlich sind, lösen, wenn es um unendliche Mengen geht. Unendliche (insbesondere überabzählbar unendliche) Mengen zeigen teilweise ganz andere Phänomene wie endliche Mengen.
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz ist selbsterklärend Danke!

Zitat:


ich bin da anders vorgegangen zwar:


nach morgan gilt folglich:



und da



muss



P(A^c) = 0 also muss die Summe auch 0 sein da für alle A_i ja gilt: P(A_i) = 1

d.h.


und da ein Wahrscheinlichkeitsmass nicht grösser als 1 sein darf gilt



Zitat:
Du musst dich vermutlich von Vorstellungen in Bezug auf Mengen, die endlich sind, lösen, wenn es um unendliche Mengen geht. Unendliche (insbesondere überabzählbar unendliche) Mengen zeigen teilweise ganz andere Phänomene wie endliche Mengen.


Ja du hast recht ich tue mir etwas schwer indem ich mir unendliche Mengen immer endlich vorstelle Hammer
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von telli
und da


Hier ist das Ungleichungszeichen verkehrtherum (oder es fehlt jeweils ein Vorzeichen).
Da du danach aber richtig weitergerechnet hast, vermute ich einen Tippfehler.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von h4mmer
Man kann also jedes als disjunkte Vereinigung einer Menge und einer Nullmenge darstellen.




Für solch ein gilt offenbar und somit ist deine Behauptung, dass gilt, schon stärker als die eigentliche Behauptung aus der Aufgabe. Demnach ist das auch kein gültiger Beweis.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von telli
Ja du hast recht ich tue mir etwas schwer indem ich mir unendliche Mengen immer endlich vorstelle Hammer


Gerade was Borelmengen oder messbare Mengen angeht, muss man ganz vorsichtig sein mit Vorstellungen. Stichwort: Banach-Tarski-Paradoxon.
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