Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte |
| 20.08.2014, 20:17 | stbo91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte Hallo, ich habe Montag eine Mathe Klausur und habe in einer Altklausur eine Aufgabe gefunden, bei der ich nicht weiter komme: Bestimme die HNF einer Ebene E in R^3 die den Abstand 1 vom Nullpunkt hat und die Punkte (3,0,0) und (0, -3/2 , 0) enthält. TIPP: Zuerst HNF allgemein aufschreiben und dann einsetzen. Meine Ideen: Meine Ansätze haben mich irgendwie immer nur im Kreis bewegt. Ich habe die allgemeine HNF aufgeschrieben und gleich 1 gesetzt, danach den Nullpunkt eingesetzt und herausbekommen dass das absolute Glied gleich dem Betrag des Normalenvektors der Ebene sein muss. Jedoch weiß ich damit nichts anzufangen. |
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| 20.08.2014, 20:41 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte du kannst b, c und d durch a ausdrücken, was dein Problem erledigen sollte 
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| 20.08.2014, 20:50 | stbo91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte Ich glaube ich hatte grade auch eine Eingebung 
ich habe die allgemeine Form ax+by+cz=1 formuliert, konnte dann die Punkte (3,0,0) und (0, -3/2, 0) einsetzen. Damit habe ich dann 3x=1 und -3/2y=1 bekommen, was mir die ersten beiden Komponenten des Normalenvektors liefert.Das wären dann x=1/3 und y= -2/3 Dann habe ich die HNF aufgestellt mit den bekannten Werten für x und y, das ganze dann gleich 1 gesetzt, den Punkt (0,0,0) eingesetzt und dann hatte ich -1 / ( sqrt(5/9 + z^2)) = 1 Das ganze dann aufgelöst liefert mir für z dann die Möglichkeiten + 2/3 und - 2/3. Damit habe ich dann meine beiden möglichen Ebenengleichungen, oder? Nachprüfen zeigt, die Punkte liegen in den Ebenen und die Ebenen sind auch um 1 vom Nullpunkt entfernt. =) |
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| 20.08.2014, 21:47 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte ich sehe keine Ebenengleichung(en). male sie doch her
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| 20.08.2014, 22:14 | stbo91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte Meine beiden Lösungen wären E1: 1/3 x - 2/3 y + 2/3 z = 1 E2: 1/3 x - 2/3 y - 2/3 z = 1 Das sind jeweils die HNF, die benötigten Punkte liegen in den Ebenen, und sie sind jeweils 1 vom Punkt (0,0,0) entfernt. Was mir jedoch noch nicht ganz klar ist, ist wieso ich im allgemeinen Fall hier die Ebenengleichung n1x1 + n2x2 + n3x3 =1 gleich 1 setzen kann, das habe ich hier in einem Beitrag gefunden, hab es aber nicht ganz verstanden. |
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| 20.08.2014, 23:06 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte die Gleicungen sind 
deine letzte Frage verstehe ich nicht wirklich 
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| 21.08.2014, 12:03 | stbo91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte Ich habe in einem anderen Beitrag von mYthos vo, 11.02.2004 diese Info gefunden: Setze die Ebenengleichung mit an. n1, n2, n3 sind bereits die Koordinaten eines Normalvektors der Ebene. Wir können auf der rechten Seite 1 setzen, weil die Koeffizienten der Ebenengleichung bis auf einen gemeinsamen Faktor bestimmt sind. Und da verstehe ich nicht ganz, wieso ich auf der rechten Seite 1 setzen kann. Was ist da für ein gemeinsamer Faktor gemeint? Danke schonmal für die Denkanstöße hier ^^ =) |
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| 21.08.2014, 12:37 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Ebene mit Abstand 1 zum Nullpunkt und durch zwei Punkte
aha, da die Ebenen den abstand 1 von O haben, muß gelten usw. |
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| 21.08.2014, 13:03 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein anderer Ansatz wäre es sich einen Punkt C zu suchen mit folgenden Bedingungen: Und der Vektor OC ist ja nun für deine Ebenen ein ganz besonderer Vektor. Führt dann auf ein nicht lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, welches aber leicht zu lösen ist. LG 
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