Flächeninhalt und Teilverhältnisse

21.08.2014, 00:21	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt und Teilverhältnisse Meine Frage: Hallo ihr Lieben! Ich rechne gerade alte Klausuren in Vorbereitung aug meine Examensklausur im Bereich Geometrie. Dabei kommt folgende Aufgabe vor: A,B,C seien drei nicht-kollineare Punkte in der Euklidischen Ebene R². L(AC) bezeichnet die Gerade durch die Punkte A,C etc. Nun gebe es Punkte F auf L(AC), E auf L(BA) und D auf L(CB) derart , dass gilt: TV(F;A,C)=TV(E;B,A)=TV(D;C,B)=-4 Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks FED in Abhängigkeit von der Fläche des Dreiecks ABC. Danke schon mal für die Ideen! Meine Ideen: Meine Idee war es über $\begin{eqnarray} Flaeche Dreieck ABC = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} det \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \\ 1 & c \end{pmatrix} \end{vmatrix} =\frac{1}{2} \begin{vmatrix} det \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_2 \\ 1 & b_1 & b_2 \\ 1 & c_1 & c_2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ aufzulösen. Analog dann für Dreieck DEF. In die Determinante dann die Teilverhältnisse einsetzen und die Determinante auflösen. Dann ausrechnen und Ausklammern und dann mit der Fläche von ABC vergleichen. Nur ist das ein ziemlicher Aufwand und ich frage mich, ob es nicht ne kürzere, elegantere Lösung gibt. Das Ergebnis ist übrigens 13/25 * Fläche ABC Ich hab das mal mit der "klassischen" Methode des Ausprobierens über geogebra überprüft. Es paßt also.
21.08.2014, 00:23	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, natürlich bin ich zu dem Ergebnis über Rechnen gekommen und habe es dann nur mit geogebra überprüft.
21.08.2014, 10:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich gibt es unterschiedliche Ansichten, wie man das orientierte Teilverhältnis TV definiert: Jedenfalls unterscheidet sich deine Ansicht von der der Wikipedia. Vom Ergebnis rückschließend kann ich nur annehmen, dass bei dir $\begin{align} TV(F;A,C) \end{align}$ diejenige Zahl ist, für die $\begin{align} \vec{AF} = TV(F;A,C)\cdot \vec{CF} \end{align}$ gilt? Anders (ob nun kürzer, sei dahingestellt) geht das ganze vielleicht so: D,E,F, liegen auf den Dreiecksseiten (d.h. nicht auf deren Verlängerungen über die Eckpunkte hinaus), es ist daher $\begin{align} F(ABC) = F(DEF) + F(AEF) + F(BDE) + F(CFD) \end{align}$ . Aufgrund der Streckenteilungen ist nun $\begin{align} \|AF\| = \frac{4}{5}\|AC\|,\; \|CF\| = \frac{1}{5}\|AC\| \end{align}$ $\begin{align} \|BE\| = \frac{4}{5}\|AB\|,\; \|AE\| = \frac{1}{5}\|AB\| \end{align}$ $\begin{align} \|CD\| = \frac{4}{5}\|BC\|,\; \|BD\| = \frac{1}{5}\|BC\| \end{align}$ , es folgt mittelbar $\begin{align} F(AEF) = F(BDE) = F(CFD) = \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5} \cdot F(ABC) \end{align}$ und damit $\begin{align} F(DEF) = \left(1 - 3\cdot \frac{4}{25} \right)\cdot F(ABC) \end{align}$ . EDIT: Hmm, nein, da hab ich wohl was falsch interpretiert - das TV ist wohl doch dasselbe wie in der Wikipedia.
21.08.2014, 13:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Ergänzung: Ein Teilverhältnis von -4 zeigt eine innere Teilung an. Also bedeutet TV(F;A,C) = -4 eine innere Teilung im Verhältnis 4 : 1, wobei der längere Streckenteil ((4/5)AC) bei A liegt. mY+
23.08.2014, 00:20	clarinet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ihr beiden! Danke schon mal für die Antworten. Das mit dem Teilverhältnis stimmt so, wie ihr es angegeben habt. So habe ich das auch gelernt / verstanden. @Hal 9000: Ja, deine Lösung ist deutlich kürzer. @MYthos: Ausnahmsweise lügt in diesem Fall Aristhoteles und das ganze ist doch die Summe seiner Teile bzgl. der Flächen. :-) Nochmals danke, auch für die schnelle Antwort. Leider war ich spontan für einen Tag weg.

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