Erwartungswert des Portfolios - Finanzmathematik/Portfoliooptimierung

22.08.2014, 12:37

Nikkk

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Erwartungswert des Portfolios - Finanzmathematik/Portfoliooptimierung

Meine Frage:
Hi,

ich stehe grade auf dem Schlauch - kann mir jemand erklären, warum der Erwartungswert und die Varianz von Vermögesprozess (auch Wert des Portfolios genannt) existieren ?!

Meine Ideen:
Ich betrachte Finanzmarkt in diskreter Zeit !
(in stetiger ist etwas leichter in diesem Sinne, da dort unter No-Arbitrage Bedingung werden nur sogenannte zulässige Strategien betrachtet, die quadratintegrierbar sind. Somit kann man leicht nachweisen, dass der Wert des Portfolios auch quadratintegrierbar ist).

Es wird wie üblich angenommen, dass der Preisprozess S(t) von (d+1) Wertpapieren (1 Bond und d Aktien) quadratintegrierbar ist (d.h. Erwartungswert und Varianz von S(t) existieren!).

Die rekursive Formel für den Verögensprozess X(t) zum Zeitpunkt t ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} X(t+1)=X(t)+\sum\limits_{k=1}^d f_{k} (t)*R_{k}(t+1)=X(t)+\sum\limits_{k=1}^d f_{k}(t)*\frac{S_{k}(t+1)-S_{k}(t)}{S_{k}(t)} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} S_{k}(t) \end{eqnarray*}$ Preis der Aktie k zum Zeitpunkt t gibt, $\begin{eqnarray*} f_{k}(t) \end{eqnarray*}$ gibt die Geldmenge, die in Aktie k investiert wird.

$\begin{eqnarray*} f_{k}(t) \end{eqnarray*}$ hängt dabei nur vom X(t) vermögent zum zeitpunkt t ab!

$\begin{eqnarray*} R_{k}(t+1)=\frac{S_{k}(t+1)-S_{k}(t)}{S_{k}(t)} \end{eqnarray*}$ sind die Rendite der Aktie k zum Zeitpunkt t.

Betrachte das Endvermögen $\begin{eqnarray*} X(T)=X(0)+\sum\limits_{n=1}^{T-1}\sum\limits_{k=1}^d f_{k}(n)*\frac{S_{k}(n+1)-S_{k}(n)}{S_{k}(n)} \end{eqnarray*}$ , wobei X(0) ist Anfangsvermögen >0 positiv und fest.

ich sehe nicht wieso Erwartungswert von X(T) E(X(t)) existiert und sogar soll Varianz von X(T) Var(X(t)) existieren ?

Für die Hilfe würde ich sehr dankbar sein )

22.08.2014, 12:58

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
$\begin{eqnarray*} E[X(T)]=E[X(0)+\sum\limits_{n=1}^{T-1}\sum\limits_{k=1}^d f_{k}(n)*\frac{S_{k}(n+1)-S_{k}(n)}{S_{k}(n)}]=<br /> =X(0)+\sum\limits_{n=1}^{T-1}\sum\limits_{k=1}^d E[f_{k}(n)*\frac{S_{k}(n+1)-S_{k}(n)}{S_{k}(n)}] \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} E[ \frac{S_{k}(n+1)-S_{k}(n)}{S_{k}(n)}] \end{eqnarray*}$ existiert nach Voraussetzung, dass S(t) qudratintegrierbar ist.

Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} E[f_{k}(n)*\frac{S_{k}(n+1)-S_{k}(n)}{S_{k}(n)}] \end{eqnarray*}$ ?

23.08.2014, 11:24

RavenOnJ

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Ich will vorausschicken, dass ich mich zu wenig in der Materie auskenne. Es darf jeder eingreifen, um mich zu korrigieren. Ich will in diesem Thread auch nicht als Helfer auftreten, nur ein paar Gedanken äußern.

Erst mal frage ich mich, warum du in der Zeitreihe die Variable t auf einmal in n umbenennst. Aber das ist marginal.

Ich verstehe nicht ganz, was dein Problem ist. Du kannst zwar für eine bestimmte Kursentwicklung der Aktien einen bestimmten Wert des Portfolios zu jedem Zeitpunkt berechnen. Es geht bei dir aber wohl um was anderes, ich vermute um die Prognose des Portfoliowerts in einer Zeitreihe. Da die Aktienkursentwicklung ein stochastischer Prozess ist (man kann mal als Modell den - mMn irrigen - Random-walk annehmen), kann man eine auf Empirie gegründete Verteilung der einzelnen Renditen ansetzen, für jede Aktie eine andere. Die Entwicklung einer Aktie und damit ihrer zeitabhängigen Rendite sollte sich als Levy-Prozess (genauer, als Martingal) modellieren lassen. Entsprechend kann man Erwartungswert und Varianz berechnen. In einer Prognose ist höchstens das möglich, es lässt sich kein Portfoliowert mit Sicherheit voraussagen. Aber vielleicht missverstehe ich dich ja.

23.08.2014, 12:36

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Danke für die Antwort.

Was ich frage: warum gilt

$\begin{eqnarray*} E|X(T)|< \infty \end{eqnarray*}$ und sogar $\begin{eqnarray*} E|X(T)|^{2} <\infty \end{eqnarray*}$ , wenn wir als Voraussetzung nur quadratinegrierbarkeit von Preisprozess S(t) haben ?

Über Handelsstrategie $\begin{eqnarray*} f(t)=(f_{0}(t),f_{1}(t),...,f_{d}(t)) \end{eqnarray*}$ wiesen wir, dass diese selbstfinanzierend ist, aber das kann man eindeutig durch das Anfangsvermögen X(0) und die Komponenten
$\begin{eqnarray*} f_{i}(t), i = 1, ..., d \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann, da es gilt

$\begin{eqnarray*} f_{0}(t)=\frac{X(t)}{S_{0}(t)}-\sum\limits_{k=1}^d f_{k} (t)*\frac{S_{k}(t)}{S_{0}(t)} \end{eqnarray*}$ .

Was ich vergessen habe zu erwähnen: Es ist angenommen, dass
$\begin{eqnarray*} S_{0}(t)\equiv 1 \end{eqnarray*}$ für alle t.

Also warum kann man folgern, dass X(T) - (das Endvermögen) quadratintegrierbar ist?

23.08.2014, 15:12

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
"Erst mal frage ich mich, warum du in der Zeitreihe die Variable t auf einmal in n umbenennst. Aber das ist marginal. " -

Es spielt keine große Rolle wie ich die Zeitvariable nenne, aber natürlich hast du Recht - damit es keine Verwirrung entsteht - sollte es t statt n geschrieben werden.

23.08.2014, 15:35

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
So wie ich verstehe sind $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R(t+1) \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig (da $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ hänft von $\begin{eqnarray*} X(t) \end{eqnarray*}$ ab, also $\begin{eqnarray*} f(X(t)) \end{eqnarray*}$ f ist Funktion von X(t) und sodass $\begin{eqnarray*} X(t)=X(t-1)+\sum\limits_{k=1}^d f_{k}(t-1)*R_{k}(t) \end{eqnarray*}$ , hängt $\begin{eqnarray*} f(X(t)) \end{eqnarray*}$ rekursiv von Renditen $\begin{eqnarray*} R(t) \end{eqnarray*}$ ab.

Somit frage ich mich ob

$\begin{eqnarray*} E| \sum\limits_{t=1}^{T-1} \sum\limits_{k=1}^d [f_{k}(t)*R_{k}(t+1)]|< \infty \end{eqnarray*}$ und sogar $\begin{eqnarray*} E| \sum\limits_{t=1}^{T-1} \sum\limits_{k=1}^d [f_{k}(t)*R_{k}(t+1)]|^{2} <\infty \end{eqnarray*}$ .

Wenn dies erfüllt wäre, so folgt dass $\begin{eqnarray*} E|X(T)|< \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E|X(T)|^{2} <\infty \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht verstehe ich etwas falsch. Darum bitte ich um Hilfe )

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23.08.2014, 15:45

RavenOnJ

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung

Zitat:

Original von Nikkk
Was ich frage: warum gilt

$\begin{eqnarray*} E|X(T)|< \infty \end{eqnarray*}$ und sogar $\begin{eqnarray*} E|X(T)|^{2} <\infty \end{eqnarray*}$ , wenn wir als Voraussetzung nur quadratinegrierbarkeit von Preisprozess S(t) haben ?

Du kannst doch einen Levy-Prozess in drei Teile aufspalten: a) Drift, b) random walk, Brownsche Bewegung, und c) zufällig verteilte Sprünge. Wie soll da zu einem endlichen Zeitpunkt ein unendlicher Erwartungswert resultieren? Dies ginge doch nur unter einer unrealistischen Annahme für die Sprungfrequenz, -richtung und -größe. So wie ich das sehe.

Außerdem meinst du wohl $\begin{eqnarray*} E[X(T)^2]-E[X(T)]^2 \end{eqnarray*}$ als Varianz.

23.08.2014, 16:02

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
leider, kenne ich mich mit Levi Prozess wenig aus - auf jeden Fall arbeite ich in diskreter Zeit.

Außerdem bin ich mir sicher, dass $\begin{eqnarray*} E|X(T)|< \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E|X(T)|^{2} <\infty \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, ich möchte das argumentieren, aber wie?

23.08.2014, 17:05

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
"RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung

So wie ich verstehe sind $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R(t+1) \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig (da $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ hänft von $\begin{eqnarray*} X(t) \end{eqnarray*}$ ab, also $\begin{eqnarray*} f(X(t)) \end{eqnarray*}$ f ist Funktion von X(t) und sodass $\begin{eqnarray*} X(t)=X(t-1)+\sum\limits_{k=1}^d f_{k}(t-1)*R_{k}(t) \end{eqnarray*}$ , hängt $\begin{eqnarray*} f(X(t)) \end{eqnarray*}$ rekursiv von Renditen $\begin{eqnarray*} R(t) \end{eqnarray*}$ ab."

Hier bestimmt habe ich Fehler:

es gilt, dass $\begin{eqnarray*} f(X(t)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R(t+1) \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

Somit gilt

$\begin{eqnarray*} E| \sum\limits_{t=1}^{T-1} \sum\limits_{k=1}^d [f_{k}(t)*R_{k}(t+1)]|= \sum\limits_{t=1}^{T-1} \sum\limits_{k=1}^d E|f_{k}(t)|*E|R_{k}(t+1)| \end{eqnarray*}$

Aus quadratintegrierbarkeit von S(t) folgt, dass $\begin{eqnarray*} E|R_{k}(t+1)|<\infty \end{eqnarray*}$ , aber wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} E|f_{k}(t)|<\infty \end{eqnarray*}$ für alle k=1,...,d und t=1,...,T-1 gilt?

25.08.2014, 01:28

RavenOnJ

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Offenbar ist $\begin{eqnarray*} f_k(t) = n_k(t)S_k(t) \end{eqnarray*}$ mit der Anzahl von Aktien k und ihrem Stückpreis zum Zeitpunkt t. Der Stückpreis ist $\begin{eqnarray*} S_k(t)=S_k(0)\prod_{n=0}^{t-1}R_k(n) \end{eqnarray*}$ . Die Renditen sind beschränkt (das ist eine schärfere Bedingung als Quadratintegrabilität), also ist auch der Stückpreis beschränkt. Die Anzahl $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls beschränkt, damit auch der Geldwert zum Zeitpunkt t:
$\begin{eqnarray*} f_k(t) = n_k(t)S_k(t)<\infty \end{eqnarray*}$
Jede Ausprägung der Zeitreihe $\begin{eqnarray*} X(t) \end{eqnarray*}$ muss also auch beschränkt sein, da sie sich nur aus endlichen Summen und Produkten rekursiv ergibt. Ergo müssen auch die Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} E[X(T)], E[f_k(T)] \end{eqnarray*}$ etc. beschränkt sein.

25.08.2014, 11:19

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Hallo,

"Der Stückpreis ist $\begin{eqnarray*} S_k(t)=S_k(0)\prod_{n=0}^{t-1}R_k(n) \end{eqnarray*}$ ." Hier wird wahrscheinlich statt Renditen: $\begin{eqnarray*} R_k(n)=\frac{S_{k}(n)-S_{k}(n-1)}{S_{k}(n-1)} \end{eqnarray*}$ gemeint $\begin{eqnarray*} R^{*} _k(n)=\frac{S_k(n)}{S_k(n-1)} \end{eqnarray*}$ . Aber das spielt im Sinne Quadratinegrierbarkeit keine Rolle, da sowohl $\begin{eqnarray*} R_{k}(n) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} R^{*} _k(n) \end{eqnarray*}$ quadratinegrierbar sind.

Was ich nicht ganz verstehe, wie sieht man, dass die Renditen beschränkt sind ?

Es gibt keine Annahmen, dass Stückpreis $\begin{eqnarray*} S_{k}(n) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. (Wir haben anngenommen, dass der Preis positiv und quadratinegrierbar ist (das ist, wie du schon erwähnt hast, schwächere Bedingung als Beschränktheit.) )

Kannst du mir bitte noch erklären wie wir Beschränktheit implizieren können?

zu $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ :
Es ist Leerverkauf erlaubt, somit kann die Anzahl $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ negativ sein.
Es gilt auch , dass der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} X(t)=\sum\limits_{k=0}^d n_k(t) \end{eqnarray*}$ für t=0,...,T-1

Aber es gibt keine Annahmen, dass $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Oder es ist einfach logisch, dass wir keine unendliche Anzahl von Aktien $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ kaufen können ?

Grüße, Nikkk

25.08.2014, 12:33

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Nikkk: "Aber es gibt keine Annahmen, dass $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Oder es ist einfach logisch, dass wir keine unendliche Anzahl von Aktien $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ kaufen können ?"

Aber anderseits haben wir keine Einschränkugen anngenommen, also können wir doch theoretisch unendlich viele Aktien kaufen, somit kann $\begin{eqnarray*} n_k(t)=\infty \end{eqnarray*}$ sein, oder?

25.08.2014, 13:15

RavenOnJ

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung

Zitat:

Original von Nikkk

Was ich nicht ganz verstehe, wie sieht man, dass die Renditen beschränkt sind ?

Alles andere wäre unrealistisch, deswegen ist diese Annahme vermutlich nicht besonders erwähnt worden.

Zitat:

Es gilt auch , dass der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} X(t)=\sum\limits_{k=0}^d n_k(t) \end{eqnarray*}$ für t=0,...,T-1

Wie das? die $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ sind nur Stückzahlen, keine Werte.

Zitat:

Aber es gibt keine Annahmen, dass $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Oder es ist einfach logisch, dass wir keine unendliche Anzahl von Aktien $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ kaufen können ?

Wie sollen denn die Stückzahlen nicht beschränkt sein? Das ist doch vollkommen unrealistisch. Niemand bekommt unbegrenzten Kredit, selbst Blackrock nicht. Dass auch Leerverkäufe möglich sind, ändert in praxi nichts daran, da du bei Leerverkäufen in der Realität (und realistisch soll es doch wohl sein) eine Margin aus deinem Geldvermögen hinterlegen musst (das musst du in deinem Ansatz als Nebenbedingung wohl noch berücksichtigen). Also auch dort sind die Stückzahlen beschränkt.

25.08.2014, 14:46

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Zitat:

Es gilt auch , dass der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} X(t)=\sum\limits_{k=0}^d n_k(t) \end{eqnarray*}$ für t=0,...,T-1

Wie das? die $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ sind nur Stückzahlen, keine Werte.

____________________________________________

Natürlich hast du Recht, ich meinte die Summe von $\begin{eqnarray*} f_k(t) = n_k(t)S_k(t) \end{eqnarray*}$ , also

der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} X(t)=\sum\limits_{k=0}^d f_k(t) \end{eqnarray*}$ für t=0,...,T-1

25.08.2014, 15:06

RavenOnJ

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Klick doch beim Zitieren auf den Zitat-Button, wie es jeder macht.

25.08.2014, 15:28

Nikkk

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
Zitat:

Aber es gibt keine Annahmen, dass $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Oder es ist einfach logisch, dass wir keine unendliche Anzahl von Aktien $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ kaufen können ?

Wie sollen denn die Stückzahlen nicht beschränkt sein? Das ist doch vollkommen unrealistisch. Niemand bekommt unbegrenzten Kredit, selbst Blackrock nicht. Dass auch Leerverkäufe möglich sind, ändert in praxi nichts daran, da du bei Leerverkäufen in der Realität (und realistisch soll es doch wohl sein) eine Margin aus deinem Geldvermögen hinterlegen musst (das musst du in deinem Ansatz als Nebenbedingung wohl noch berücksichtigen). Also auch dort sind die Stückzahlen beschränkt.
______________________________________________

Ich soll theoretisch betrachten und theoretisch sind Renditen bzw. Stückzahlen der Aktien nur endlich und nicht unbedingt beschränkt.

Ich denke du meinst Endlichkeit statt Beschränktheit.

Sie N die Menge von allen möglichen Stückzahlen der Aktien. Somit ist $\begin{eqnarray*} N=\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ beschränkt wäre, so sollte nach Definition eine Konstante C geben sodass : $\begin{eqnarray*} n_k(t)\leq C \end{eqnarray*}$ für alle k=0,...,d und t=0,...,T-1 gilt.

Gegenbeispiel: Ein $\begin{eqnarray*} n_k(t)=C+1 \in N \end{eqnarray*}$ , somit für beliebiges C finde ich immer ein $\begin{eqnarray*} n_k(t)\in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n_k(t)>C \end{eqnarray*}$ , Kurz gesagt: die Menge reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist unbeschränkt.

Auf jeden Fall vielen dank für deine Antwort und die Mühe )

ich versuche es zu argumentieren dann, dass $\begin{eqnarray*} n_k(t)<\infty \end{eqnarray*}$ , somit

$\begin{eqnarray*} f_k(t) = n_k(t)S_k(t)<\infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X(t)<\infty \end{eqnarray*}$ und auch der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E[X(T)]<\infty \end{eqnarray*}$ .

25.08.2014, 20:53

RavenOnJ

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RE: Erwartungswert des Portfolios - Fiinanzmathematik/Portfoliooptimierung
OK, theoretisch sind die $\begin{eqnarray*} n_k(t) \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt, praktisch aber schon. Praktisch sind sie deswegen beschränkt, weil 1.) die Geldmenge endlich ist und weil 2.) mögliche Aktienpreise immer ein Minimum haben, beispielsweise 1 Cent. Nimm also als obere Schranke an: $\begin{eqnarray*} n_k(t) < 10^{16} \end{eqnarray*}$ , dies wird praktisch gesehen in den nächsten 100(1000?) Jahren nicht überschritten Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Beschränkt oder endlich: Streit um Kaisers Bart, wenn du mich fragst.

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