Skalarprodukt nachweisen |
22.08.2014, 16:40 | Shiby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Skalarprodukt nachweisen ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Gegeben sei die Basis des Finden Sie eine Matrix A derart, dass die Abbildung ein Skalarprodukt definiert, bezüglich dem die gegebene Basis orthonormal ist. So wie ich das verstehe soll ich die Basen mit Gram- Schidt orthonormalisieren und dann A als Spalten der orthonormalisierten Basen darstellen. Anschließend muss man dann noch zeigen das es sich um ein Skalarprodukt handelt. Ist das so korrekt? |
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22.08.2014, 17:25 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du Gram-Schmidt verwenden willst, brauchst du doch schon eine Skalaprodukt. Außerdem heißt es ja, die gegebene Basis soll eine Orthonormalbasis sein. |
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22.08.2014, 18:16 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Shiby, bei einem Wechsel der Basis ist es hilfreich sich die Abbildung aufzuschreiben, welche die alten Basisvektoren auf die Neuen abbildet und umgekehrt. |
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22.08.2014, 18:35 | Shiby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke schonmal für die Antworten. @bijektion ja okey das stimmt hab ich nicht dran gedacht. Kann jemand mal bitte das genaue vorgehen beschreiben ich bin mir doch sehr unsicher wie man diese Aufgabe löst. |
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22.08.2014, 18:43 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du weißt doch u.a.: und etc., das sollte doch schon helfen. |
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22.08.2014, 18:59 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabe kann man im "Schnelldurchgang" mit der Formel lösen. Dabei muss gelten für i=1,2,3 B bildet also die neuen Basisvektoren auf die "alten" Basisvektoren des R³ ab. Auf die erste Formel kommt man über die Beziehung . |
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22.08.2014, 19:22 | Shiby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehe ich es korrekt, dass ich ein Gleichungssystem mit 9 Gleichungen und 9 Unbekannten erhalte und so die Matrix A bestimmen kann |
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22.08.2014, 19:27 | Shiby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie kommst du auf die Formel ? |
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22.08.2014, 19:52 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn B invertierbar ist, komme ich vom euklidischen Skalarprodukt per zu einem eindeutig definierten Skalarprodukt. Da das gesuchte Skalarprodukt ebenfalls eindeutig definiert ist und B innerhalb der Rechnung ebenfalls eindeutig berechenbar ist, sollte der gesamte Rechenweg zur gesuchten Lösung führen. Besser kann ich es momentan auch nicht beschreiben. Ich weiß aber, dass es funktioniert . |
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23.08.2014, 00:17 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So hätte ich es gemacht, aber Bernhard1s Weg scheint eleganter zu sein... |
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23.08.2014, 00:56 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Inverse von B kann man dabei unmittelbar aus den Basisvektoren b_i bilden: |
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23.08.2014, 01:13 | Shiby | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso kann ich die Inverse aus den Basisvektoren bilden? |
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23.08.2014, 02:05 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
B bildet die Basisvektoren auf die "euklidischen" Basisvektoren ab, womit das euklidische Skalarprodukt letztendlich auf die neue Basis übertragen wird. Die Inverse von B bildet demnach umgekehrt die "euklidischen" Basisvektoren auf die neuen Basisvektoren ab. Es gilt folglich und da beispielsweise ist, stehen in den Spalten von genau die Basisvektoren |
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