Wahrscheinlichkeit zweier Summen

25.08.2014, 06:50

Egaus

Wahrscheinlichkeit zweier Summen

Hallo,
Von 9 Zahlen(1-9) werden 2 gezogen. Dann deren Summe berechnet. Aus den verbliebenen 7 Zahlen werden wiederum 2 gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe bei der zweiten Ziehung gleich mit der von der ersten Ziehung ist? Mein Ansatz: Es gibt 21 Möglichkeiten bei der zweiten Ziehung.(2 aus 7, wie beim Lotto). Ist dann die Wahrscheinlichkeit 1/21?
Danke im Voraus, Egaus

25.08.2014, 07:23

gast2508

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RE: Wahrscheinlichkeit zweier Summen
Die WKT hängt davon ab, welche Zahlen jeweils zuerst gezogen werden.
Werden z.B. die Zahlen 1 und 2 zuerst gezogen, also die Summe 3, ist die WKT Null, diese Summe erneut zu ziehen, weil man Summe 3 nur durch Ziehen von 1 und 2 erzielen kann.
Wird zuerst 9 und 1 gezogen, also Summe 10,gibt es beim 2.Zug 3 Möglichkeiten, 10 zu erreichen
(8/2, 7/3,6/4) von insgesamt 21 weiteren Möglichkeiten. Hier wäre die WKT 3/21.

25.08.2014, 07:59

Hubert1965

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Nein. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $\begin{eqnarray*} \frac{17}{189} \end{eqnarray*}$ .

Überlege dir mal die möglichen Paarungen nachdem du die ersten beiden Zahlen gezogen hast:

Die Summe 3 bekommst du nur mit 1+2 (oder 2+1, aber die Reihenfolge ist ja egal). In diesem Fall gibt es aber kein weiteres Paar unter den 7 verbliebenen Zahlen, das ebenfalls die Summe 3 ergeben könnte.

Wir haben also folgendes Zwischenergebnis:
Summe 3:
Möglichkeiten diese Summe im ersten Paar zu erreichen: 1 (von 36)
Möglichkeiten diese Summe im zweiten Paar zu erreichen: 0 (von 21)

Die Summe 4 erhältst du mit 1+3. Eine andere Möglichkeit gibt es nicht, folglich bleibt auch in diesem Fall keine Möglichkeit diese Summe mit dem zweiten Paar zu erreichen:

Summe 4:
Möglichkeiten diese Summe im ersten Paar zu erreichen: 1 (von 36)
Möglichkeiten diese Summe im zweiten Paar zu erreichen: 0 (von 21)

Für die Summe 5 stehen 1+4 und 2+3 zur Verfügung. Es gibt also 2 Möglichkeiten diese Summe mit dem ersten Paar zu erreichen, und eine für das zweite Paar:

Summe 5:
Möglichkeiten diese Summe im ersten Paar zu erreichen: 2 / 36
Möglichkeiten diese Summe im zweiten Paar zu erreichen: 1 / 21

Überlege dir für jede weitere mögliche Summe (bis inklusive 17) wie viele Möglichkeiten es jeweils gibt.

Auf diese Weise hast du alle 36 möglichen Kombinationen für das erste Paar untersucht und dabei festgestellt, dass vier Fälle zu unterscheiden sind, die mit unterschiedlichen Häufigkeiten auftreten:

Fall A:
Es gibt nur 1 Möglichkeit (von insgesamt 36) eine bestimmte Summe zu erreichen Dieser Fall kommt 4-mal vor (nämlich im Fall der Summen 3, 4, 16 und 17). In diesem Fall sind unter den 21 möglichen Kombinationen für das 2. Paar genau 0 Paare die dieselbe Summe ergeben.

Die fett hervorgehobenen Zahlen findest du in diesem Ausdruck wieder:
$\begin{eqnarray*} 4*\frac{1}{36}*\frac{0}{21} \end{eqnarray*}$

Für die weiteren Fälle ergeben sich gleich aufgebaute Ausdrücke, jedoch mit anderen Zahlen. Diese vier Ausdrücke musst du dann noch geeignet verknüpfen (überlege dir wie) und den resultierenden Bruch noch kürzen, und dann solltest du das von mir genannte Ergebnis erhalten.

25.08.2014, 11:37

HAL 9000

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Alternative Erklärung für diesen Wahrscheinlichkeitswert:

Es seien $\begin{align*} a,b,c,d \end{align*}$ die vier ausgewählten Zahlen, der Größe nach aufsteigend geordnet, d.h. $\begin{align*} 1\leq a<b<c<d\leq 9 \end{align*}$ . Wir suchen zunächst die Anzahl solcher Quadrupel mit $\begin{align*} a+d=b+c \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} b-a=d-c \end{align*}$ . Für $\begin{align*} b-a=1 \end{align*}$ gibt es da genau $\begin{align*} \binom{7}{2} \end{align*}$ Quadrupel, für $\begin{align*} b-a=2 \end{align*}$ dann $\begin{align*} \binom{5}{2} \end{align*}$ und schließlich $\begin{align*} \binom{3}{2} \end{align*}$ für $\begin{align*} b-a=3 \end{align*}$ , damit sind alle möglichen erfasst.

Da zunächst $\begin{align*} a,d \end{align*}$ oder aber $\begin{align*} b,c \end{align*}$ ausgewählt werden können, ergibt sich insgesamt

$\begin{align*} \frac{\displaystyle 2\cdot \left(\binom{7}{2} + \binom{5}{2} + \binom{3}{2} \right)}{\displaystyle \binom{9}{2}\cdot \binom{7}{2}} = \frac{17}{189} \end{align*}$

25.08.2014, 12:38

Egaus

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Danke für diesen mir verständlichen Beitrag. Interessant wäre eine Verallgemeinerung. Dann könnte man auch die WKT für größere Zahlen ermitteln. Zum Beispiel wenn anstelle der 9 die 49 steht.
Grüße, Egaus

26.08.2014, 10:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Egaus
Interessant wäre eine Verallgemeinerung. Dann könnte man auch die WKT für größere Zahlen ermitteln. Zum Beispiel wenn anstelle der 9 die 49 steht

Ist kaum schwerer: Wenn statt 9 etwa die allgemeine ungerade Zahl $\begin{align*} 2n+1 \end{align*}$ steht, ergibt sich Wahrscheinlichkeit

$\begin{align*} \frac{\displaystyle 2\cdot \sum_{k=1}^{n-1} \binom{2k+1}{2}}{\displaystyle \binom{2n+1}{2}\cdot \binom{2n-1}{2}} = \frac{4n+1}{3(2n+1)(2n-1)} \end{align*}$ .

Geht natürlich auch für gerade Zahlen, mit geringfügig anderer Endformel.

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