Vollständige Induktion 1/sqrt(n) Ungleichung

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turnschuh Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion 1/sqrt(n) Ungleichung
Meine Frage:
Hey,
Ich stehe vor folgender Aufgabe:
Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:


Meine Ideen:
Den Induktionsanfang etc. hab ich schon geschafft. Jetzt komme ich allerdings bei nicht weiter! Wie zeige ich das am besten?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Schätze



nach unten ab.

Wir können es ja zu

zusammenfassen.

Was du nun zu tun hast ist nur noch



zu zeigen. Und das lässt sich recht leicht nachrechnen. Wenn du eine einfache Abschätzung durchführst.
Gibt wahrscheinlich noch elegantere Methoden.

Interessant ist auch der in diesem Workshop beschriebene Zusammenhang:

[WS] Vollständige Induktion

(Zweit letzter Beitrag)
turnschuh Auf diesen Beitrag antworten »

Ja bei dem Schritt war ich auch schon aber hatte dann wieder aufgehört weil ich einfach beim Abschätzen des Bruches versage! Ich will den Nenner ja quasi weg haben. Wenn ich den Nenner jedoch durch 1 abschätzen würde, dann würde ich den Term ja nach oben und nicht nach unten abschätzen. Oder soll ich den Nenner gar nicht abschätzen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Forme die Ungleichung einfach ein wenig um.
turnschuh Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich habe die Gleichung jetzt umgeformt (habe übrigens auf der rechten Seite der Ungleichung noch eine 2 als Faktor dabei stehen)
Habe jetzt folgende Schritte durchgeführt:
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, den Faktor 2 hatte ich versehentlich vergessen aufzuschreiben.

Es scheint als würdest du quadrieren und dann durch 4 teilen.
Dies müsstest du jedoch auch auf der anderen Seite der Ungleichung tun.
 
 
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gmasterflash
Stimmt, den Faktor 2 hatte ich versehentlich vergessen aufzuschreiben.

Es scheint als würdest du quadrieren und dann durch 4 teilen.
Dies müsstest du jedoch auch auf der anderen Seite der Ungleichung tun.


Ne er hat alles richtig gemacht. Er hat nur quadriert
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt. Keine Ahnung warum ich was anderes behauptet habe.
Gurki Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ

Es gilt:



und das ist äquivalent zur Behauptung.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. smile
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