Alle Elemente und 1-DIM Untervektorräume angeben

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Untervektorräume Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Elemente und 1-DIM Untervektorräume angeben
Meine Frage:
Es sei k = Z/3. Geben Sie explizit alle Elemente von k^2 und alle 1-
dimensionalen Untervektorräume von k^2 an. Begründen Sie Ihre Antwort.

Meine Ideen:
Alle Elemente:
Ist dabei gefragt welche Zahlen auftreten können? Bei Z/3 wäre das ja 0,1 und die 2.
1-Dimensionale Untervektorräume:
(0,1)(0,2)(1,0)(1,2)(2,0)(2,1)
Da einige davon vielfache sind:
(0,1)(1,0)(1,2)(2,1)
Ist das so korrekt?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Mh... Irgendwie scheint es hier nicht um Vektorräume zu gehen, sondern um die Gruppe bzw. .
Falls du wirklich Vektorräume meinst, dann musst du zumindest die skalare Multiplikation definieren.
 
 
Untervektorraum92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm das verwirrt mich jetzt ein wenig.
Ich meine keine Vektorräume sondern den Körper Z/3.
Wie gebe ich davon alle Elemente an?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann eben den Körper , der beinhaltet aber die Gruppe .

Zitat:
Wie gebe ich davon alle Elemente an?

Welche Elemente enthält denn die Gruppe ?

Zitat:
Ich meine keine Vektorräume sondern den Körper Z/3.

Und was meinst du dann mit Untervektorräumen?
Untervektorraum92 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Gruppe Z/3 enthält ja wie gesagt nur:
{(0),(1),(2)} da 4 in modulo ja wieder 1 ist usw.
Was ich mit den UVR meine weiß ich momentan nicht, da dies ja meine Frage ist.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also . Jetzt definieren wir für die Addition und Multiplikation durch und .
Dadurch ergibt sich dann der Körper .

Zitat:
Was ich mit den UVR meine weiß ich momentan nicht, da dies ja meine Frage ist.

Da kann ich jetzt nur raten: Da die rede von und ist, könntest du mit einem Skalarprodukt inkl. Komponentenweiser Addition versehen und einen VR erhalten.
Die Angabe der Elemente von sollte aber der erste Schritt sein.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion

Da kann ich jetzt nur raten: Da die rede von und ist, könntest du mit einem Skalarprodukt inkl. Komponentenweiser Addition versehen und einen VR erhalten.


Von Skalarprodukt ist doch keine Rede. Es geht wohl um den Vektorraum über dem Skalarkörper . Da gibt's ja nur 9 Elemente und man kann ja mal mit anfangen und skalar multiplizieren: . Additionen von UV-Elementen führen nicht zu weiteren Mitgliedern. Dann nimmt man analog. Dann mit und mit , womit man schon alles hätte. Es gibt also 4 1-dimensionale UVR.
Hasgar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von bijektion

Da kann ich jetzt nur raten: Da die rede von und ist, könntest du mit einem Skalarprodukt inkl. Komponentenweiser Addition versehen und einen VR erhalten.


Von Skalarprodukt ist doch keine Rede. Es geht wohl um den Vektorraum über dem Skalarkörper . .


Jo ich denke er meinte Skalarmultiplikation, d.h. Körperelement mal Vektor und nicht das Skalarprodukt aus 2 Vektoren.

Jedoch ist eigentlich klar, dass es von Anfang an um Vektorräume geht, da jeder Körper K unendlich viele K-Vektorräume K^n impliziert. Daher kann man ohne weitere Angaben bei nem K-Vektorraum K^2 die Untervektorräume betrachten.
Untervektorraum92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also grob gesagt:
Elemente:
(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)
Und die UVR:
(1,0)(0,1)(1,1)(1,2)
Korrekt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Also, "grob gesagt" geht gar nicht. Etwas ist richtig oder falsch. In diesem Fall sind die Elemente richtig, die UVR aber falsch, denn das sind nur Erzeugende der UVR. Schau mal nach, wie ein UVR definiert ist.
MatheMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich bin auf diesen Thread gestoßen, der genau meine Fragestellung enthält. Ich hoffe es macht nichts aus, wenn ich ihn fortsetze.

Definition UVR: de.wikipedia.org/wiki/Unterraum#Untervektorraum
Danach muss ich nun die Abgeschlossenheit nachweisen.
Bei UVR (1,1) ist (0,0) enthalten und immer abgeschlossen. (1,0) *2, wäre allerdings (2,0) und nicht mehr im (1,1) enthalten.. Irgendwie kommt mir diese Folgerungen aber falsch vor, da dann die eigenen UVR nur (0,0), (2,0), (0,2) und (2,2) wären. Es wäre sehr nett wenn ihr mir sagen könntet, wie das genauer funktioniert.

Vielen Dank!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei UVR (1,1)

(1,1) ist kein Unterraum, das ist ein einzelner Vektor.
Falls du den von (1,1) erzeugten Unterraum meinst, muss die Abgeschlossenheit nicht nachgewiesen werden, das Ding ist per Def. ein Unterraum.
Oder willst du den von (1,1) erzeugten Unterraum bestimmen?

Zitat:
(1,0) *2, wäre allerdings (2,0) und nicht mehr im (1,1) enthalten

Und? Auch (1,0) ist nicht in <(1,1)> enthalten.

Zitat:
eigenen UVR nur (0,0), (2,0), (0,2) und (2,2) wären.

Was ist ein eigener UVR?
Außerdem sind das wieder nur Vektoren, keine Unterräume;
der Unterschied scheint der nicht klar zu sein.
MatheMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine schnelle Antwort.
Ja der Unterschied wird mir nicht klar und ich kann auch anscheinend mit der Wiki Seite dazu nicht viel anfangen.
Hätte eigentlich gedacht, dass die letzte Antwort von Untervektorraum92 korrekt gewesen wäre. Daher habe ich, wie RavenOnJ gesagt hat, mir die Definition eines UnterVEKTORraums angesehen.

Welche Definition habe ich mir denn nun anzusehen? Weiß leider nicht mehr weiter..
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hätte eigentlich gedacht, dass die letzte Antwort von Untervektorraum92 korrekt gewesen wäre.

Nein, und das hat RavenOnJ doch auch gesagt:
Zitat:
die UVR aber falsch


Zitat:
mit der Wiki Seite dazu nicht viel anfangen

Du hast doch bestimmt ein Skript. Wie wär's damit? Oder ein Lehrbuch, Beide sind dazu geschrieben zu lehren.
Wikipedia dagegen ist ein Nachschlagewerk.
Dort sind auch oft einige Beispiele dabei, gehe die sorgsam durch.

Und als genereller Tipp wie man Matheaufgaben bearbeitet:
mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt
MatheMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erneut für die schnelle Antwort.
Ich habe mich natürlich schon drum gekümmert, aber im Skript sowie wenn ich im Internet nach Unterraum Suche, lande ich immer beim Untervektorraum und dessen 3 Bedingungen. Daher weiß ich nicht, was mit Unterraum in diesem Kontext gemeint ist, wenn es nicht um Untervektorraum Bedingungen gehen soll.
Vielleicht wäre es netterweise möglich, das mich da einer diesbezüglich aufklären könnte.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Unterraum und Untervektorraum sind Synonyme.

Zitat, erster Satz aus dem Untervektorraum-Artikel in Wikipedia:
Zitat:
Ein Untervektorraum [...]ist in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum darstellt.

Darum geht's.

Zitat:
Daher weiß ich nicht, was mit Unterraum in diesem Kontext gemeint ist, wenn es nicht um Untervektorraum Bedingungen gehen soll.


LaTeX-Tag durch Quote-Tag ersetzt. Augenzwinkern Steffen

Es gibt einen himmelweiten Unterschied zwischen Objekt X und Objekt X Bedingungen.
MatheMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Da das wieder ein Vektorraum ergibt, der diesmal eindimensional sein soll. Da es dazu alle Teilmengen sein sollen, wäre (0),(1),(2) richtig? verwirrt
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(0),(1),(2)

Das sind noch nicht mal Mengen, können also gar keine Teilmengen sein.
Ferner sind 0, 1 und 2 keine Elemente des Vektorraums

Ich hege den starken Verdacht, dass dein Verständnisproblem bei elementaren Begriffen der Mengenlehre wie Menge, Element, Teilmenge anfängt.

P.S: Danke Steffen.
MatheMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, müsste wenn dann bei Mengen natürlich {0},{1}, usw. Ist aber anscheinend eh falsch, da sich die 1-Dim anscheinend nicht auf die Anzahl der Elemente in der Menge bezieht.

Sind dann die 1- Dim Unterräume etwa einfach Teilmengen, die alle 1 Element enthalten? Also =
{(0,0)} ,{(0,1)}, {(0,2)}, {(1,0)}, {(1,1)}, {(1,2)}, {(2,0)}, {(2,1)}, {(2,2)}
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sind dann die 1- Dim Unterräume etwa einfach Teilmengen, die alle 1 Element enthalten?

Nein, und du scheinst einfach nur zu raten.
Es gibt einen einzigen Vektorraum mit einem Element, der ist immer Null-dimensional, der VR: {0}.

Zitat:
da sich die 1-Dim anscheinend nicht auf die Anzahl der Elemente in der Menge bezieht

Das würde ja auch einelementig heißen.
Was die Dimension eines Vektorraums ist, steht auch im Skript.

Zitat:
{(0,0)} ,{(0,1)}, {(0,2)}, {(1,0)}, {(1,1)}, {(1,2)}, {(2,0)}, {(2,1)}, {(2,2)}

Nur die allererste Menge ist ein Vektorraum. Alle anderen sind keine, es fehlt ihnen u.a. ein neutrales Element, auch 0 oder Nullvektor genannt.

Mein persönlicher Tipp:
Mach eine Pause geh raus in die Sonne, und dann gehst du dein Skript akribisch von Anfang an durch.
MatheMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es vielleicht möglich, dass konkret mal z.b drei der 1-Dim Unterräume als Beispiel genannt werden? Das wäre mir eine große Hilfe, denn daraus könnte ich weitere Schlussfolgerungen ziehen.
Natürlich wäre es besser, dass alles zu verstehen und selbst drauf zu kommen. Aber ich komme, wie man sieht, trotz einigem Aufwand nicht auf einen vernünftigen Ansatz, auch nicht wenn ich die 7 Seiten Script bis zu dem Thema nochmal in Ruhe durchgehe. traurig
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

7 Seiten Skript in 40 Minuten (die Zeit zwischen meinen Post un Deinem) ist nicht in Ruhe.
Das ist drüberlesen. Ein Mathematik-Skript ist keine Prosa, da braucht man für eine Seite u.U sehr, sehr lange; ich verweise niochmal auf:
mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt
Einer der Unterräume ist
{(0,0),(1,1),(2,2)}

Die Aufgabe ist mit ziemlicher Sicherheit kein sonderlich gutes Beispiel um die grundlegenden Begriffe der Vektorräume zu lernen, da hier ja wohl auch der Grundkörper noch relativ unvertraut ist.
MatheMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe! Freude
Werde mir da nochmal ein paar Grundlagen anschauen. Das Ergebnis was ich jetzt abgegeben habe ist:
{(0,0),(1,1),(2,2)} , {(0,0),(1,0),(2,0)} , {(0,0),(0,1),(0,2)} , {(0,0),(2,1),(1,2)}
Mal schauen ob das richtig ist!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMaja
Ist es vielleicht möglich, dass konkret mal z.b drei der 1-Dim Unterräume als Beispiel genannt werden? Das wäre mir eine große Hilfe, denn daraus könnte ich weitere Schlussfolgerungen ziehen.


Wenn ich das richtig sehe, hatte ich bereits drei aufgeschrieben. Du musst einfach nur lesen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMajaDas Ergebnis was ich jetzt abgegeben habe ist:
{(0,0),(1,1),(2,2)} , {(0,0),(1,0),(2,0)} , {(0,0),(0,1),(0,2)} , {(0,0),(2,1),(1,2)}
Mal schauen ob das richtig ist!


Irgendwie komisch, dass du nicht einfach mal den Thread als Ganzes durchliest. Dann könntest du deine Unsicherheit nämlich beseitigen.
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