Spur einer linearen Abbildung |
| 27.08.2014, 18:08 | Zitronenstrauch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Spur einer linearen Abbildung V sei ein n-dimensionaler Vektorraum über und f ein Endomorphismus. Die Dimension des Eigenraumes von f zum Eigenwert 2 ist k Die Dimension des Eigenraumes von f zum Eigenwert 3 ist n-k. Also ist die Spur von f gleich ... Also um die Spur einer linearen Abbildung angeben zu können, brauchen wir ja die Basiswechselmatrix der linearen Abbildung. Aber ich verstehe nicht, wie wir diese aus den gegebenen Informationen ableiten können... Habt ihr vielleicht einen Tipp für mich? |
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| 27.08.2014, 18:24 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könntest du mit den gegebenen Informationen entscheiden, ob bzw. die zugehörige Abbildungsmatrix diagonalisierbar ist? |
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| 28.08.2014, 16:46 | Zitronenstrauch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich würde schon sagen, dass f diagonalisierbar ist. Ich würde das so begründen: Der Schnitt von Eigenräumen zu unterschiedlichen Eigenwerten, besteht nur aus dem Nullvektor. Außerdem besteht der Eigenraum zum Wert 2 aus k linear unabhängigen Eigenvektoren und der Eigenraum zu 3 aus n-k linear unabhängigen Eigenvektoren. Zusammen wären das dann also k+n-k = n linear unabhängige Eigenvektoren. Da es wegen dim(V)=n nur n linear unabh. EV geben kann und wegen der Begründung oben auch tatsächlich geben muss, sind alle EV linear unabhängig, womit dann f also diagonalisierbar wäre. Ist das soweit richtig gedacht? |
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| 28.08.2014, 16:52 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das wäre soweit in Ordnung. Wir haben eine Basis aus Eigenvektoren und damit Diagonalisierbarkeit, d.h. es ex. mit . Könnte man das vielleicht irgendwie ausnutzen? (Stichwort: Invarianz) |
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| 30.08.2014, 15:29 | Zitronenstrauch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also beim Stichwort Invarianz weiß ich nicht so recht, wie ich da vorgehen sollte. Meine nächsten Überlegungen wären: Da es n Eigenvektoren gibt und sich als Matrix schreiben lässt, die sich aus eben solchen zusammensetzt, ist A bzw. D eine nxn-Matrix. Bei D sind auf der Hauptdiagonalen nur 2en und 3en, da es ja nur diese zwei verschiedenen Eigenwerte geben kann. Also bleibt die Frage nach der Anzahl der jeweiligen Werte. Zugehörig zu den Eigenvektoren würde ich also sagen, es gibt k 2en und n-k 3en auf der Hauptdiagonalen. Daraus ergäbe sich ja dann tr(D)=2k+3n-3k=3n-k, was dann auch der Spur von f entspräche. Ist das richtig? |
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| 02.09.2014, 13:12 | Zitronenstrauch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 02.09.2014, 13:39 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da die Spur invariant ist, ist das richtig. Ja. |
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