Systeme linear unabhängig |
| 28.08.2014, 20:56 | Nortos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Systeme linear unabhängig Es sei V ein k-Vektorraum und (v1,v2,v3,v4,v5) eine Basis von V. Entscheiden Sie (mit Begründung) welche der folgenden Systeme linear unabhängig sind und welche den gesamten Vektorraum V erzeugen: a) (v1, v1+v2, v1+v3, v1+v4, v1+v5) b) (v1, v2, v3+v4+v5) c) (v1, v2, v1+v2,v3,v4) d) (v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, v4 + v5, v5 + v1, v2 + v4) Meine Ideen: Hallo, ich weiß das gilt: Für a) habe ich dann dies: <=> Wie macht man ab hier weiter? |
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| 29.08.2014, 19:32 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Systeme linear unabhängig Die Aufgabe erfordert es eigentlich nicht, jeden Fall mühsam auszurechnen (es sei denn, das wurde ausdrücklich verlangt). Für das Verständnis wäre es hier schöner, die Systeme nach grundlegenden Eigenschaften von Basisvektoren und deren Linearkombinationen zu untersuchen und dann die 2 Fragen jeweils mit stichhaltiger Begründung zu beantworten. Also z. B zu a): Können die Vektoren eine andere Basis von V darstellen und wenn ja, warum? Was folgt daraus? |
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| 30.08.2014, 18:29 | Nortos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Systeme linear unabhängig
Ich würde sagen ja, weil 1.) Die dim(Basis(V) gleich bleibt 2.) (v1-v5) eine Basis sind und damit linear unabhängig. Daraus folgt das z.B. (v1+v2) wieder ein linear unabhängiger Vektor ist
Das a) linear unabhängig ist und den gesamten Vektorraum V erzeugt. Ich bin mir nicht 100% sicher ob Sie das so meinten! |
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| 01.09.2014, 12:33 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Systeme linear unabhängig Im Prinzip war es so gemeint, ich würde es nochmal präziser fassen: System a) besteht aus 5 Vektoren und dim(V) = 5, also Basis grundsätzlich möglich. (v1-v5) sind eine Basis und damit linear unabhängig. Daraus folgt, dass kein Basisvektor (oder sein Vielfaches) als Linearkombination der anderen darstellbar ist, somit 5 unterschiedliche Vektoren, die Linearkombinationen von v1 - v5 sind, wieder linear unabhängig und damit eine Basis sind. Als Basis erzeugen sie dann den gesamten Vektorraum V. Man könnte auch die Vektoren als Matrix schreiben und mit den Rechenregeln für Determinanten argumentieren, aber das ist hier wahrscheinlich noch nicht Thema. Dann mal weiter mit b) ... |
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| 02.09.2014, 15:19 | Nortos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Systeme linear unabhängig Zu b) System b) besteht aus 3 Vektoren => dim(V)=3 => Basis nicht möglich ist b) l.u? v1-v5 bilden eine Basis => v1-v5 l.u => jede Linearkombination mit v1-v5 ist l.u somit auch (v3+v4+v5) => b) ist l.u richtig so? |
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| 03.09.2014, 12:14 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Systeme linear unabhängig Korrektur: Basis aus 3 Vektoren nicht möglich, da dim(V)=5. v1, v2, v3+v4+v5 sind l. u., erzeugen aber nicht V. Bei der Aussage "jede Linearkombination mit v1-v5 ist l.u" muß man natürlich aufpassen, wie es gemeint sein soll. Das wird dann bei Fall c) wichtig. |
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| 07.09.2014, 15:52 | Nortos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu c) - 5 Vektoren => Basis möglich -> Ich bin mir gerade unsicher ob eine Basis möglich ist da der Vektor v5 ja nicht vorkommt. Linear unabhängig sind die Vektoren von c) jedenfalls denn: die Linearkombination (v1+v2) ist wieder ein Vektor der unabhängig von den anderen Vektoren ist. Und die Vekotren (v1,v2,v3,v4) sind teil des Basis und darum auch l.u. |
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| 08.09.2014, 15:57 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
richtig
das wäre noch nicht entscheidend, denn eine beliebige Basis ist nicht eindeutig, d. h. es muß nicht ein bestimmter Vektor vorkommen, aber:
das ist falsch, da nun v1 + v2 eine Linearkombination der beiden ersten Vektoren ist. Das war z. B. bei a) nicht der Fall! Damit sind die Vektoren aus c) zwar paarweise linear unabhängig, aber nicht als System insgesamt. Folge? |
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| 08.09.2014, 17:06 | Nortos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah ok! Wie gesagt da war ich mir auch sehr unsicher aber das hat sich ja jetzt geklärt 
Da das System nicht l.u ist => keine Basis von V und somit erzeugt c) auch nicht den gesamten Raum! Zu d) 6 Vektoren => Basis möglich Ich würde sagen das alle Vektoren nicht l.u da der letzte Vektor (v2+v4) wieder nur eine Linkeakombination von vorherigen Vektoren ist. Deshalb wäre eine Basis nur möglich wenn der letzte Vektor gestrichen werden würde. => nicht l.u und keine Basis. |
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| 08.09.2014, 17:17 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
6 Vektoren => Basis nicht möglich, da diese aus genau 5 Vektoren bestehen muß. Das System ist damit automatisch l. a., das System kann aber trotzdem ganz V erzeugen, wenn 5 der 6 Vektoren l. u. sind. |
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