Auswahl mit Zurücklegen (trivial)

29.08.2014, 23:14

albertb

Auswahl mit Zurücklegen (trivial)

Meine Frage:
Urne mit 10 Kugeln, 3 davon schwarz; 4 werden "zufällig herausgegriffen", mit und ohne Zurücklegen.

Gesucht für beide Fälle: $\begin{eqnarray*} P(A_i) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} A_i = \{ i\ schwarze\ Kugeln\ gezogen \} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ohne Zurücklegen:

$\begin{eqnarray*} P(A_i) = \frac{\binom{3}{i}\binom{7}{4-i}}{\binom{10}{4}} \end{eqnarray*}$

mit Zurücklegen:

$\begin{eqnarray*} P(A_i) = \frac{\binom{3+i-1}{i}\binom{7+(4-i)-1}{4-i}}{\binom{10+4-1}{4}} \end{eqnarray*}$

Leider ist die zweite Lösung falsch. Aber weshalb?

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} P(A_i) = \binom{4}{i} \left(\frac{3}{10}\right)^i \left(\frac{7}{10}\right)^{4-i} \end{eqnarray*}$

30.08.2014, 07:18

adiutor62

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RE: Auswahl mit Zurücklegen (trivial)
Ohne Zurücklegen---> Hypergeometrische Verteilung: Die WKT ändert sich mit jedem Zug

Mit Zurücklegen ---> Binomialverteilung: Die WKT bleibt bei jedem Zug gleich.
Wie bist du auf deine seltsame Formel gekommen ? Offenbar hast du zu in diesem Fall kompliziert gedacht. smile

vgl:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung

30.08.2014, 10:46

albertb

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RE: Auswahl mit Zurücklegen (trivial)

Zitat:

Original von adiutor62
Ohne Zurücklegen---> Hypergeometrische Verteilung: Die WKT ändert sich mit jedem Zug

Mit Zurücklegen ---> Binomialverteilung: Die WKT bleibt bei jedem Zug gleich.

Danke!

Das sind tatsächlich die einfachsten Beispiele der beiden diskreten Verteilungen..

Zitat:

Original von adiutor62
Wie bist du auf deine seltsame Formel gekommen ?

Ich bin sehr mechanisch vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{Anzahl\ guenstiger\ Faelle}{Anzahl\ moeglicher\ Faelle} \end{eqnarray*}$

und ohne Zurücklegen geht das bestens auf.

Mit zurücklegen habe ich das gleiche Muster verwendet, inkl:

$\begin{eqnarray*} \binom{n+p-1}{p} \end{eqnarray*}$

d.h. die Formel für die ungeordnete Auswahl mit Zurücklegen.

Die Konstruktion für $\begin{eqnarray*} P(A_2) \end{eqnarray*}$ sieht dann wie folgt aus:

1. Man wählt 2 von 3 schwarzen Kugeln aus

$\begin{eqnarray*} \binom{3+2-1}{2} \end{eqnarray*}$

2. Man wählt 2 von 7 nicht-schwarzen Kugeln aus

$\begin{eqnarray*} \binom{7+2-1}{2} \end{eqnarray*}$

3. Man wählt 4 von 10 Kugeln aus

$\begin{eqnarray*} \binom{10+4-1}{4} \end{eqnarray*}$

Resultat:

$\begin{eqnarray*} P(A_2) = \frac{\binom{3+2-1}{2}\binom{7+2-1}{2}}{\binom{10+4-1}{4}} \end{eqnarray*}$

Wo liegt da wohl der Denkfehler?

30.08.2014, 17:31

albertb

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RE: Auswahl mit Zurücklegen (trivial)

Zitat:

Original von albertb
$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{Anzahl\ guenstiger\ Faelle}{Anzahl\ moeglicher\ Faelle} \end{eqnarray*}$

(...)

Wo liegt da wohl der Denkfehler?

http:__de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitstheorie#Laplace-Experimente

Ein Spezialfall, welcher in der Grundausbildung so oft wiederholt wird, bis man es nachplappert wie ein Schaf und mechanisch anwendet, ohne zu wissen, was man eigentlich tut.

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