Differentialgleichung mit variablen Koeffizienten lösen

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Manko Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung mit variablen Koeffizienten lösen
Möchte diese homogene Differentialgleichung lösen:



Jedoch scheint mir diese Aufgabe als unmöglich..

Wie macht man sowas?
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Hat denn keiner ne Idee wie man so ne Gleichung löst?
Ich habe ne Stunde lang erraten wollen das da rauskommt, jedoch ohne Erfolg.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Lösung in geschlossener Form mittels der handelsüblichen höheren Funktionen dürfte nicht möglich sein. Man kann eine Potenzreihe ansetzen und deren Koeffizienten mittels der DGL rekursiv berechnen.

Falls die DGL aus der Physik stammt, habe ich Zweifel an ihrer Korrektheit. Die 3 Summanden können nämlich nicht dieselbe Dimension haben.
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt hast du recht. Ich dachte aber nicht, dass ich mich verrechnet haben könnte. Das tut mir da sehr leid.
Die richtige Gleichung scheint aber auch ziemlich Anspruchsvoll zu sein. Sie lautet:



Ich habe da zu allererst den Ansatz R(r) = Ar^2+B probiert, aber da fällt das 1/r^2 nicht raus.
Sonst fällt mir dazu nichts ein
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, und das l kann irgend eine Konstante sein. Mein Lehrbuch wählt zum Beispiel l = k(k+1) und errechnet dann die Lösung auf myteriöser weise zu:



Aber das geht irgendwie nicht in meinem Kopf, wieso man gerade diesen trick anwenden muss. Ich will die GLeichung normal lösen. Deshalb regt mich dieses Buch von zeit zu zeit schon auf..
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manko


Das ist für keine Lösung dieser DGL:

Zitat:


Vielleicht schreibst du mal die tatsächliche Aufgabe wörtlich hin!
 
 
Manko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Vielleicht schreibst du mal die tatsächliche Aufgabe wörtlich hin!


Ehrlich gesagt ist das die eigentliche Aufgabe. Ich soll den Separationsansatz fpr sphärische Koordinaten ausarbeiten. Dabei ist das Potential nicht abhängig vom azimutalwinkel phi. Und durch die Laplacegleichung ergibt sich genau diese DG.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du lässt es sehr an der notwendigen Sorgfalt mangeln! unglücklich
Dies



ist eine Lösung der Radialgleichung, wenn man die Radialgleichung in der Form



schreibt mit l = 0, 1, 2, ... Die Form der Konstanten ergibt sich dabei aus der Lösbarkeitsbedingung der Gleichung für den Winkel .

Auf diese Lösung kommt man über die Methode des Potenzreihenansatzes. Wenn man eine Potenzreihe als Lösung ansetzt, verknüpft die DGL im allgemeinen verschieden Potenzen der Variablen miteinander. Bei dieser speziellen DGL führt jedoch jeder Term der DGL ausgehend von einer Potenz n zu der gleichen Potenz n - 2. Der Ansatz



ergibt:



Die quadratische Gleichung für n



hat die beiden Lösungen

Manko Auf diesen Beitrag antworten »



ich dachte ihr kennt euch sofort aus und wisst sowieso was gemeint ist.

Jetzt aber habe ich es geschafft. Danke! Und es geht auch ohne den Ansatz l(l+1), man kann auch einfach nur l setzen, jedoch ist es halt einfacher wenn mans nicht so macht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manko
ich dachte ihr kennt euch sofort aus und wisst sowieso was gemeint ist.

Woher soll man wissen, was du meinst, wenn du mit einer völlig falschen DGL anfängst und nicht erwähnst, dass es um den Radialteil der Laplacegleichung in Kugelkoordinaten geht. Wir sind keine Hellseher!

Zitat:
Und es geht auch ohne den Ansatz l(l+1), man kann auch einfach nur l setzen, jedoch ist es halt einfacher wenn mans nicht so macht.

Dann steht aber in der Lösung nicht einfach l. Das zusammen passt nicht und das nenne ich mangelnde Sorgfalt.
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