2-Dimensionale abschnittsweise definierte Dichtefunktion

30.08.2014, 20:46

Krissi0713

2-Dimensionale abschnittsweise definierte Dichtefunktion

Hallo alle zusammen,
ich lerne gerade für meine Klausur und gerade will so gar nichts mehr...

Folgende Aufgabe (ich versuche es mit dem Formeleditor, bin aber ganz neu, also bitte ich um Nachsicht...):
Betrachten Sie die 2-dimensionale Zufallsvariable (X, Y) mit der Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x)= <br /> \frac{1}{2}, fuer -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}, 1 \leq y \leq 2 <br /> \frac{1}{4}, fuer -1 \leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1<br /> 0, sonst \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass es sich bei f tatsächlich um eine Dichte handelt.
b) Untersuchen Sie, ob X und Y unabhängig und/oder unkorreliert sind.

Es scheitert schon bei a). Um zu zeigen, dass f(x,y) eine Dichtefunktion ist, muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \int\! f(x,y) \, d(x,y)=1 \end{eqnarray*}$ ist... Aber irgendwie kann ich das Integral partout nicht berechnen. Könnt ihr mir helfen?

Liebe Grüße,
Krissi

30.08.2014, 21:14

Krissi0713

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Ich glaub jetzt hab ich's doch. Aber kann da bitte mal jemand drauf gucken?
Das Integral zerfällt in folgende drei Teile (leider wollen die Integralgrenzen nicht so ganz, da muss man sich ein paar - Zeichen dazu denken):

$\begin{eqnarray*} \int_ \infty ^ 1 \! \int_\infty ^0 \! 0 \, dy \, dx=0 \end{eqnarray*}$ (Grenzen bei x und y jeweils negativ)
$\begin{eqnarray*} \int_\frac{1}{2} ^\frac{1}{2} \! \int_1 ^2 \! \frac{1}{2} \, dy \, dx=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (u. Grenze von x negativ)
$\begin{eqnarray*} \int_1 ^1 \! \int_0 ^1 \! \frac{1}{4} \, dy \, dx =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (u. Grenze von x negativ)
$\begin{eqnarray*} \int_ 1^ \infty\! \int_2 ^\infty \! 0 \, dy \, dx=0 \end{eqnarray*}$

Also zusammen =1.
(Entschuldigt die doofe Darstellung...) Stimmt das so oder komme ich jetzt nur auf mein Wunschergebnis?

31.08.2014, 09:50

Leopold

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Deine Lösung ist sehr formal und läßt den Verdacht aufkommen, daß du die Sache nicht vollständig durchschaut hast. Deine Integrale berücksichtigen nicht alle Bereiche der Ebene, die weißen ignorierst du (siehe Zeichnung).

[attach]35226[/attach]

Ich hätte nicht so formal argumentiert, sondern gesagt:
Über den beiden Rechtecken ist die Dichte konstant ungleich Null, ansonsten ist sie Null. Es genügt daher, die Integration über die beiden Rechtecke auszuführen:

$\begin{align*} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = \color{red} 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} \color{black} + \color{blue} 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \color{black} = 1 \end{align*}$

31.08.2014, 13:24

Krissi0713

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Es kann sehr gut sein, dass ich es nicht durchblickt habe, Stochastik liegt mir so gar nicht und ich hangel mich da so durch. Kannst du mir erklären, wie ich es machen müsste, um den ganzen Bereich zu betrachten? Also hier hat es dann ja wohl eher zufällig geklappt...

31.08.2014, 18:20

Leopold

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Zitat:

Original von Krissi0713
Kannst du mir erklären, wie ich es machen müsste, um den ganzen Bereich zu betrachten?

Zitat:

Original von Leopold
Über den beiden Rechtecken ist die Dichte konstant ungleich Null, ansonsten ist sie Null. Es genügt daher, die Integration über die beiden Rechtecke auszuführen.

31.08.2014, 18:55

Krissi0713

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Mir ging es darum, dass ich es wirklich nicht ganz geblickt habe, also wie man es formal dann richtig machen würde. Also ob es eine Rechnung gibt, die alle Bereiche einbezieht.
Ich sehe, dass bei meiner Version Bereiche ausgelassen werden. Ich wüsste aber nicht, wie ich formal anders rechnen müsste, um die ausgelassenen Bereiche einzubeziehen. Allerdings ist mir mit der Begründung ja schon geholfen, zumindest um die Aufgaben zu lösen.

Danke für die Hilfe!

31.08.2014, 19:58

Leopold

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Wie das Bild zeigt, ist es vermutlich nicht möglich, den Bereich außerhalb der beiden Rechtecke durch eine einfache Formel zu beschreiben. Wozu aber auch! In diesem Bereich ist der Integrand und somit auch das Integral 0. Also reicht es, sich auf die beiden Rechtecke zu beschränken.
Es ist immer gefährlich, das Risiko auf sich zu nehmen, unnötige Arbeiten falsch auszuführen. Mathematiker führen unnötige Arbeiten lieber gar nicht aus. Was man nicht auszuführen braucht, kann man schon nicht falsch ausführen.

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