Anzahl der Jordan-Normalformen mittels charakteristischem- und Minimalpolynom bestimmen |
| 31.08.2014, 16:20 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Anzahl der Jordan-Normalformen mittels charakteristischem- und Minimalpolynom bestimmen Von einer Matrix kennt man nur das charakteristische Polynom p(t)=(t-2)^3 (t-4)^6 und das Minimalpolynom m(t)=(t-2)^2 (t-4)^3. Wie viele JORDAN-Normalformen kommen für diese Matrix bis auf Reihenfolge der Blöcke in Frage? Meine Ideen: Zu diesem speziellen Aufgabentypen konnte ich nicht wirklich was finden. Hat das was mit den geometrischen und algebraischen Vielfachheiten zu tun? Die algebraische Vielfachheit vom EW 2 ist ja drei und vom EW 4 gleich 6. EW 2 hat damit die Größe 3x3 EW 4 6x6 Die Gesamtmatrix ist also 9x9 Damit komme ich nur auf eine mögliche Jordan Normalform, es sollen aber drei sein... Danke schonmal. |
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| 31.08.2014, 16:39 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hiho,
da gibt es auch nicht viel zu finden, man kann hier fast direkt mit den Defintionen arbeiten.
Nicht wirklich. Wie habt ihr denn Minimalpolynom definiert? Man macht das gern mal über , wobei das Produkt über alle Eigenwerte läuft und die Größe des maximalen Jordanblocks zum EW Lambda ist. Damit hat der EW 2 einen Jordanblock der Größe 2, damit ist automatisch der zweite von Größe 1. Bis auf Reihenfolge ist das nur eine Möglichkeit. Jetzt das selbe Spiel für den zweiten EW. |
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| 31.08.2014, 16:54 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Eigenwert von 4 hat die geom. Vielfachheit 3, also hat der größte Jordanblock die max Größe von 3. Falls das richtig ist, wie gehe ich dann weiter vor? |
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| 31.08.2014, 16:58 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genauso wie im ersten Fall. Wie können die anderen Jordanblöcke zum EW 4 aussehen? |
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| 31.08.2014, 17:07 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, ich hab davon wenig Ahnung. Vllt. Neben dem 3er Block noch einen 2er und einen 1er? Die Größe dieser "Untermatrix" ist doch 6x6? |
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| 31.08.2014, 17:11 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahnung hat damit überhaupt nichts zu tun. Ein bisschen Denken sollte als Student doch immer gehen.
Das ist eine Möglichkeit. Es gibt noch zwei andere. |
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| 31.08.2014, 17:15 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2 mal 3er und 3er + 3 1er |
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| 31.08.2014, 17:22 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und damit ist die Aufgabe gelöst. |
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| 31.08.2014, 17:25 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dankt! Aber hat man damit insgesamt nicht 4 Möglichkeiten? |
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| 31.08.2014, 17:28 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Möglichkeiten multiplizieren, nicht addieren. |
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| 31.08.2014, 17:33 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nachmals danke für die Hilfe! Noch eine letzte Frage: Bei der Anordnung der Jordanblöcke muss doch immer mindestens ein JB der maximalen Größe benutzt werden, oder? |
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| 31.08.2014, 17:48 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versteh die Frage nicht. Es soll hier doch ohne Reihenfolge betrachtet werden. Wozu dann eine Anordnung? |
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| 31.08.2014, 18:03 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Etwas unglücklich ausgedrückt. Ich meine beim EW 4 ist der größtmögliche Bock ein 3er. MUSS dieser verwendet werden? Ansonsten könnte man ja auch (da insg 6x6 groß) 3 2er Blöcke verwendet werden; oder 6 1er. |
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| 31.08.2014, 18:11 | watcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch das ist sprachlich unglücklich. Hier wird nichts verwendet. Wie du im Satz vorher schreibst: Der größte Block "ist".
Nein, denn dann sähe das Minimalpolynom anders aus. |
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| 31.08.2014, 18:24 | Johannbc | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn der max große Block 3 ist, kommt dieser dann auch in jeder der Möglichkeiten (zwangsweise) vor? |
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