Kartenstapel Problem

31.08.2014, 17:56	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Kartenstapel Problem Ein Kartenstapel mit N Karten soll gemischt werden (Die Karten sind von 1 bis N durchnummeriert) Nun wird jedem Kartenstapel, der beim Mischen herauskommen kann eine Zahl auf diese Weise zugeordnet: Z = ( Zahl auf der Ersten Karte - Zahl auf der Zweiten Karte)^2 + (Zahl auf der Zweiten - Zahl auf der Dritten Karten )^2 ....... + (Zahl auf der (N-1)ten Karten - Zahl auf der Nten Karte)^2 Nun konstruiert man eine Funktion g(N,a) mit Die Funktion g(N,Z) gibt an, wievielen der N! Möglichen Kartenstapeln die man mit N Karten mischen kann die Zahl Z zugeordnet wird. Beispiel für N = 3 Die Möglichen Stapel sind 1 2 3 Z= (2-1)^2 + (3-2)^2 = 2 1 3 2 Z= (3-1)^2 + (2-3)^2 = 5 2 3 1 Z= (3-2)^2 + (3-1)^2 = 5 2 1 3 Z = (1-2)^2 + (3-1)^2 = 5 3 1 2 Z = (3-1)^2 + (2-1)^2 = 5 3 2 1 Z = (3-2)^2 + (2-1)^2 = 2 Und damit g( 3,2) = 2 und g(3,5) = 4 Hat jemand eine Lösung wie man jetzt eine Gleichung für g(N,Z) aufstellen kann???
01.09.2014, 11:23	wdposchmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, stammt die Aufgabe von einem Übungsblatt oder wie bist Du darauf gekommen? Also eine wirklich "schöne" geschlossene Form wirst Du für $\begin{eqnarray} g(N,Z) \end{eqnarray}$ in meinen Augen nicht bekommen. Du kannst Dir höchstens mal die Ergebnisse für die ersten $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ aufschreiben und Dir dann ein paar Gedanken machen. Z.B. muss ja $\begin{eqnarray} g(N,Z) = 0 \end{eqnarray}$ sein für alle $\begin{eqnarray} Z < N-1 \end{eqnarray}$ , denn der minimale Abstand zweier aufeinander folgender Zahlen ist 1. Dies ist genau dann der Fall, wenn Dir die "aufsteigende" bzw. "absteigende" Permutation vorliegt, in Deinem Beispiel also 1,2,3 und 3,2,1. Da in allen anderen Permutationen mindestens eine Differenz größer als 1 ist, kannst Du auch schon mal feststellen, dass $\begin{eqnarray} g(N,N-1) = 2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N}_{\geq 2} \end{eqnarray}$ (für $\begin{eqnarray} N=1 \end{eqnarray}$ macht die Betrachtung wenig Sinn). Hoffe, ich konnte Dir einen kleinen Denkanstoß geben.
25.09.2014, 21:34	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für dein Interesse, auf so etwas in der Art bin ich auch schon gekommen, man kann ja noch mehr einzelne Werte so ausrechnen, bzw. spezielle Werte ausschließen, ein Maximum und ein Minimum angeben. Das Problem entstammt in seiner Urform einer mathematischen Modellierungswoche, dort waren auch Doktoren der Mathematik anwesend, aber die wussten auch keine Antwort.

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