Minimalpolynom einer Dreiecksmatrix

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31.08.2014, 21:03	Piiet	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom einer Dreiecksmatrix Meine Frage: Hi. Ich möchte das Minimalpolynom der folgenden Matrize bestimmen: \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} Meine Ideen: Da es eine Dreicksmatrix ist, lassen sich die Eigenwerte ablesen und folglich auch das charakteristische Polynom bestimmen: EW 4 mit 3facher alg. Vielfachheit -> p(t)=(4-t)^{3} Wären statt 2en 1en vorhanden, läge ja die Jordan NF vor und die Sache wäre klar (hier: cP=Mp). Wie gehe ich aber in diesem Fall weiter vor bzw gibt es einen Trick das Ergebnis mit wenig Aufwand herauszufinden? Grüße Peter
31.08.2014, 21:36	Piiet	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps, so wohl besser.. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
31.08.2014, 22:13	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist denn das Minimalpolynom definiert.
31.08.2014, 22:31	Piiet	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, in echt schlecht in Mathe. Ich weiß nur, dass das Minimalpolynom die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte angibt. Und man, wenn die Matrix in JNF ist man daraus die maximale Blockgröße entnehmen kann... Hab LA2 auch nur im Nebenfach.
01.09.2014, 14:54	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Minimalpolynom ist von der Gestalt her so ähnlich wie das charakeristische Polynom nur sind die Exponenten möglichst klein gewählt so dass für $\begin{eqnarray} \mu_t (A) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Bei deiner Aufgabe kann man das durch ausprobieren herausfinden. Sprich du musst 1. $\begin{eqnarray} \chi_t (A) = (A - 4E) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \chi_t (A) = (A - 4E)^2 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \chi_t (A) = (A - 4E)^3 \end{eqnarray}$ ausrechnen und schauen wo 0 rauskommt. Du fängst bei 1. an sollte dies nicht 0 sein machst du mit 2. weiter sollte dort 0 rauskommen bist du schon fertig und hast das Minimalpolynom gefunden. Sollte bei 2. auch nicht 0 rauskommen kann nur 3. das Minimalpolynom sein, denn es gilt $\begin{eqnarray} \chi_t (A) = 0 \end{eqnarray}$ .
01.09.2014, 17:02	Piiet	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Das mit dem (A-Eigenwert) hab ich inzwischen schon wo anders gelesen. Aber ich kann damit nicht wirklich was anfangen Wie sähe denn die konkrete Rechnung für die Fälle (A-4E), (A-4E)^2 und (A-4E)^3 aus? Es ist bestimmt viel arbeit das aufzuschreiben, aber an der Stelle hänge ich auch bei anderen Aufgaben. Wäre dir wirklich sehr dankbar, wenn du das mal vorrechen könntest. Dann könnte ich an den anderen Aufgaben üben Vielen Dank nochmals!
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01.09.2014, 17:13	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A-4E = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So der Rest ist deine Aufgabe.
01.09.2014, 17:49	Piiet	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist das gemeint, danke $\begin{eqnarray} A-4E^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hab die Matrix mit sich selbst multipliziert. Für hoch 3 müsste ich dann noch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rechnen? Ergibt bei mir =0. Ist hier aber eigentlich nicht nötig. Damit wäre das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} p(t)=(4-t)^{3} \end{eqnarray*}$
01.09.2014, 18:03	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es korrekt. Es ist aber nicht immer so einfach das man es durch ausprobieren herausbekommt. Man stelle sich vor $\begin{eqnarray} \chi_A (t) = (t-5)^7(t-2)^3(t-1)^{10} \end{eqnarray}$

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