Orthonormalbasis bezüglich Bilinearform |
01.09.2014, 19:55 | Doutzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Orthonormalbasis bezüglich Bilinearform Hallo Ich habe eine Aufgabe aus einer Prüfung von lineare Algebra 2, welche ich nicht so recht lösen kann. Die Aufgabe lautet folgendermassen: a ) Man zeige, dass für jede (nxn)-Matrix eine Bilinearform auf dem Vektorraum ist. b) Sei . Man finde eine Orthonormalbasis von bezüglich der durch A definierten Bilinearform . Meine Ideen: a) Ich denke, hier muss man einfach folgendes Axiom zeigen: Muss ich noch mehr zeigen? b) Hier habe ich leider nicht so eine Ahnung... Eine Basis wäre doch , , , Oder stimmt das nicht? Wie gehe ich weiter vor? Vielen Dank für die Hilfe! |
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01.09.2014, 21:18 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a) Reicht das denn für eine Bilinearform? b) Die Elemente des VRs sind , also keine Matrizen sondern Vektoren. |
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02.09.2014, 02:05 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Definitiv. Schau dir nochmal die Definition einer Bilinearform an und zeige dann auch die Linearität des zweiten "Slots".
Finde zwei Vektoren mit |
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02.09.2014, 11:12 | Doutzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank euch beiden! Habe jetzt folgendes, bitte um Korrektur: a) b) Somit stehen senkrecht zueinander, und da beide die Länge 1 haben, bilden sie eine Orthonormalbasis. |
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02.09.2014, 11:27 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Ergebnis ist leider falsch. Schau Dir die Matrizenmultiplikation noch mal genauer an. Ferner muss gelten: |
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02.09.2014, 12:22 | Doutzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, habe gerade gemerkt dass ich mich verrechnet habe. Wie finde ich nun einen solchen Vektor? Ich versuche gerade, dieses Gleichungssystem aufzulösen (hoffe hier habe ich mich nicht verrechent): Aber irgendwie komme ich nicht weiter... Ist dies überhaupt ein guter Ansatz? Oder wie finde ich sonst einen Vektor ? |
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02.09.2014, 12:46 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Das ist aber nur die erste von vier Gleichungen (s.o.). Schreibe die drei Anderen ebenfalls auf und Du hast vier Gleichungen für vier Unbekannte. EDIT: Überlege Dir vorweg passende Bezeichnungen für die vier Unbekannten. |
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02.09.2014, 13:47 | Doutzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe folgendes gemacht: . Somit komme ich auf folgendes Gleichungssystem: Hier streichen sich ja die letzte Zeile weg, da sie identisch ist zur zweitletzten. Muss ich jetzt wirklich die Gleichungen umformen und ineinander einsetzen? Oder sieht man dieser Gleichung jetzt schon an, wie das Resultat aussehen könnte? |
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02.09.2014, 14:02 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offensichtlich kann man die Basis im R² beliebig drehen. Man darf also (beispielsweise) setzen. EDIT: Das vereinfacht das Gleichungssystem dann ganz wesentlich . |
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02.09.2014, 15:25 | Doutzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Tipp, habe das vorhin schon mal ausprobiert ohne zu wissen, dass ich das tatsächlich darf^^ Habe aber immer noch ein Problem: Wenn ich setze, erhalte ich für . Diese Werte scheinen zu stimmen, wenn ich sie in die erste Gleichung einsetze erhalte ich 1. Aber egal was ich wie umforme und wieder einsetze, ich komme auf keine passenden Werte für . Die Werte, welche ich durch Umformen erhalte, stimmen dann zwar für die dritte Gleichung, aber in der zweiten erhalte ich nie 1 wenn ich einsetze... Was mache ich falsch? |
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02.09.2014, 15:32 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nimm Dir mal die vierte Gleichung vor. Die läßt sich stark vereinfachen. Setze diese Gleichung dann in die zweite Gleichung ein. |
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02.09.2014, 15:42 | Doutzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok danke, jetzt hat's funktioniert |
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