Homogenes/inhomogenes LGS

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Cygan Auf diesen Beitrag antworten »
Homogenes/inhomogenes LGS
Hallo,
ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und weiß nicht weiter:
Es sei:

und
Bestimmen Sie alle Lösungen
i)des homogenen LGS Ax=0
ii) des inhomogenen LGS Ax=b
iii) des inhomogenen LGS Ax=b'

Bei i) bin ich wie folgt vorgegangen;
1) Koeffizientenmatrix in ZSF bringen:
=>
Da ich 5 Variablen habe aber die dim(A)=3 ist kann ich zwei freie Variablen wählen.
Wähle x4=s und x5=t
LGS:
I x1 + x2+ x 3+ s + t = 0 => x1= s+t
II x2 + s = 0 => x2= -s
III x3 + s + 2t = 0 ==> x3 = -s -2t
Also:

Meine Frage bezieht sich jetzt auf das inhomogene LGS: Ax=b
Ich fange wieder an die Koeffizientenmatrix in ZSF zu bringen:

So aber wie macht man ab hier weiter?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum homogenen/inhomogenen LGS
Zitat:
Original von Cygan
Hallo,
ich habe ein Problem bei einer Aufgabe und weiß nicht weiter:
Es sei:


und
Bestimmen Sie alle Lösungen
i)des homogenen LGS Ax=0
ii) des inhomogenen LGS Ax=b
iii) des inhomogenen LGS Ax=b'


die b-Vektoren sind Elemente des R^5 !!

schreibe die Matrix gleich als erweiterte Matrix mit zusätzlicher Nullzeile:


hier ist gemeint.

Wenn Du dieselben Operationen für dieses LGS machst, wie für das homogene LGS, kann man ablesen , dass
ist. Also unlösbar. Dasselbe gilt für dea LGS mit Vektor b'
 
 
Cygan Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
Entschuldigung da ist mir wohl eine Zeile dazu gerutscht!
Es ist natürlich:

Ich gehe mal davon aus das die Lösung dann auch eine andere ist!
MfG
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch einige Zeilenumformungen richtigerweise für A gemacht.

Dieselben wendest du jetzt auf an. Der entstehende Vektor ist Element des R^4, woraus folgt, dass das System unlösbar ist.

Dasselbe mit dem Vektor b' liefert ein Element des R^3. also ist das LGS lösbar.

Bitte nachrechnen !
Cygan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bilde jetzt die Koeffizientenmatrix von Ax=b:

Ich kann doch eine Parametrisierte Form angeben oder?
Da ich aber 5 Variablen habe kann ich eine frei wählen. Wähle x4=s
Daraus ergibt sich dann folgendes LGS:
I x1+x2+x3+s+x5=1
II x2 + s = 0
III 3x3 + 2s + 5x5 = -2
IV 2x5 = 5
Daraus ergibt sich;
x1= 12+2a
x2= -s
x3= -4,5 - 2/3
x4= s
x5= 2,5
==>
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum homogenen/inhomogenen LGS
keine Ahnung, was du da machst, du hattest doch:

Zitat:

für das System
Da ich 5 Variablen habe aber die dim(A)=3 ist kann ich zwei freie Variablen wählen.


so, und jetzt ersetzt du die 6. Spalte mit Vektor b=(1,1,1,1)^T,

und rechnest genauso wie zuvor. Dann müssen die ersten 5 Spalten wieder gleich sein. Die neue Spalte 6 entscheidet dann über die möglichen Lösungen.

Verstanden?
Cygan Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Da habe ich mich verrechnet!
Raus kommt:

Also, wie du schon sagtest, unlösbar da
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cygan

Also, wie du schon sagtest, unlösbar da


richtig wäre:

,

was aber hier keinen Einfluss hat.
--------------------------------------------------------------------------
bei aber aufpassen!
Cygan Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Ax=b' habe ich nach ZSF raus:

Kann ich mir jetzt 2 Variablen wählen und eine Parametrisierte Lösung bilden?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

genau so ist es richtig !
Cygan Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle x4=s und x5=t =>





=>
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

fast richtig.

Cygan Auf diesen Beitrag antworten »

Ah da bin ich wohl in der Zeile verutscht!
Damit wäre die Aufgabe ja gelöst!
Vielen Dank für die Geduld
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