Kritische Punkte berechnen

03.09.2014, 11:01

Doutzi

Kritische Punkte berechnen

Meine Frage:
Hallo

Sitze gerade an einer Aufgabe, bei der ich nicht sehe wie ich weiter komme... Die Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch:
$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \{ (x^2 + y^2)\cdot ln(x^2 + y^2), (x,y)\neq (0,0) \\ 0, (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktion f.

Meine Ideen:
Ich habe erstmal die 1. partiellen Ableitungen berechnet:

$\begin{eqnarray*} gradf(x,y)=\begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x(ln(x^2 + y^2) +1) \\ 2y(ln(x^2 + y^2) +1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D.h. es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} 2x(ln(x^2 + y^2) +1)= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2y(ln(x^2 + y^2) +1)= 0 \end{eqnarray*}$

Nun beginnen die Schwierigkeiten: Ich kann ja z.B. in der ersten Formel $\begin{eqnarray*} x_1 = 0 \end{eqnarray*}$ setzen und dies in der zweiten Formel einsetzen, dann erhalte ich für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ (weil ja dann der Ausdruck im ln = -1 sein muss) = $\begin{eqnarray*} \pm \frac{1}{\sqrt{e} } \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das gleiche mache für die zweite Gleichung (also $\begin{eqnarray*} y_2 = 0 \end{eqnarray*}$ setzten), dann erhalte ich für $\begin{eqnarray*} x_2 =\pm \frac{1}{\sqrt{e} } \end{eqnarray*}$ .

Jetzt bin ich mir aber unsicher, erstens ob dies überhaupt stimmt, und zweitens, ob es noch mehr kritische Punkte gibt, welche ich nicht gesehen habe.

Vielen Dank für die Hilfe smile

03.09.2014, 11:19

Stephan Kulla

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RE: Kritische Punkte berechnen
Wenn du eine Gleichung wie $\begin{eqnarray*} 2x(ln(x^2 + y^2) +1)= 0 \end{eqnarray*}$ hast, dann machst du eine Fallunterscheidung in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(x^2 + y^2) +1= 0 \end{eqnarray*}$ . Beide Fälle betrachtest du dann getrennt. In der zweiten Gleichung gehst du analog vor.

03.09.2014, 11:21

Stephan Kulla

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RE: Kritische Punkte berechnen
Siehe auch Gleichungssystem lösen mit einer ähnlichen Aufgabe...

03.09.2014, 12:05

Doutzi

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RE: Kritische Punkte berechnen
Wenn ich $\begin{eqnarray*} ln(x^2 + y^2) +1= 0 \end{eqnarray*}$ habe, muss ja $\begin{eqnarray*} ln(x^2 + y^2) = -1 \end{eqnarray*}$ sein. Und der Logarithmus ist gleich -1, wenn $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ , d.h. meine x und y liegen auf einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ . Dann gäbe es ja aber unendlich viele Kombinationen für x und y, oder? Wie komme ich aber nun auf konkrete kritische Punkte?

03.09.2014, 12:11

Stephan Kulla

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RE: Kritische Punkte berechnen

Zitat:

Original von Doutzi
Wenn ich $\begin{eqnarray*} ln(x^2 + y^2) +1= 0 \end{eqnarray*}$ habe, muss ja $\begin{eqnarray*} ln(x^2 + y^2) = -1 \end{eqnarray*}$ sein. Und der Logarithmus ist gleich -1, wenn $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ , d.h. meine x und y liegen auf einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ . Dann gäbe es ja aber unendlich viele Kombinationen für x und y, oder? Wie komme ich aber nun auf konkrete kritische Punkte?

Richtig, du hast unendlich viele kritische Punkte. Für alle x und y, die auf dem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \tfrac 1{\sqrt e} \end{eqnarray*}$ liegen, ist $\begin{eqnarray*} \ln(x^2 + y^2)+1=0 \end{eqnarray*}$ und damit das Gleichungssystem erfüllt. Alle diese Punkte sind also kritische Punkte...

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