Wenn Komplexprodukt von Untergruppen AB = BA ist, ist AB Untergruppe

Neue Frage »

MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Komplexprodukt von Untergruppen AB = BA ist, ist AB Untergruppe
Moin,

Aufgabe:
Seien A,B Untergruppen von G.
Zeige: Es gilt für das Komplexprodukt , AB ist Untergruppe von G genau dann, wenn AB = BA ist.

Lösung:
Die eine Richtung bekomme ich hin. Angenommen es gilt AB = BA. AB ist trivialerweise eine Teilmenge von G. Zu zeigen ist also die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation von Elementen aus AB und die Abgeschlossenheit bzgl. der Inversenbildung.
1. Multiplikation: Seien mit mit . Für das Produkt gilt dann:
2. Inversenbildung: und
Da aber AB = BA ist, gilt

Das wäre also gezeigt. Ich komme aber nicht darauf, was das Problem ist, wenn AB nicht gleich BA ist. Kann mir da jemand helfen?

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wenn Komplexprodukt von Untergruppen AB = BA ist, ist AB Untergruppe
Zitat:
Original von MartinL
Für das Produkt gilt dann:


bedeutet nicht, dass gilt. Zum Glück ist das aber für den Beweis auch nicht notwendig. Nimm einfach an, dass gilt

MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, hatte ich hier auch ursprünglich so stehen. Hab den Teil gestern Abend schon gemacht und eben beim Aufschreiben hab ich da wohl böse abgekürzt. Da tut sich natürlich trotzdem nichts.

Multiplikation: a,c aus A, b,d aus B: Für ab*cd existieren y in A und z in B mit bc = yz. Also gilt: ab*cd = ayzd und das ist ein Element aus AB.

Inversenbildung funktioniert auch eigentlich genau so wie oben nur die Variablen heißen dann anders.

Genau das was du angesprochen hast ist aber bei der Rückrichtung auch mein Problem. Ich habe angenommen, dass es ein a aus A und ein b aus B gibt, so dass es kein c aus B und kein d aus A gibt mit ab = cd. Dazu muss ja nun, unter der Bedingung, dass AB eine Untergruppe ist, ein Widerspruch gefunden werden. Das ist mir aber nicht gelungen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme mal an, du meinst, die -Richtung bereitet dir Probleme, denn die Rückrichtung (-Richtung; Voraussetzung: AB=BA) hast du ja schon bewiesen. Geh doch statt über einen Widerspruchsbeweis (Voraussetzung: es gilt nicht AB=BA) konstruktiv vor, also nimm an, AB ist Untergruppe und beweise, dass dann AB=BA gelten muss.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hab ich gemacht:

Angenommen
Sei
Gesucht ist und mit



Da AB Untergruppe ist, gibt es zu jedem Element aus AB ein inverses Element. Sei wähle dann und . Die Inversen zu c und d existieren, da A,B Untergruppen von G sind.
Damit geht die Gleichung auf und ich finde für jedes Element aus AB ein Element aus BA.

Geht das so? Oder habe ich Annahmen getroffen, die ich nicht treffen darf. Gerade bei Dingen wie Kommutativität etc. passiert es mir ab und an, dass ich an einer Stelle irgendwo einfach mal etwas aus Gewohnheit benutze, was hier aber nicht erlaubt ist.


Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist OK. Freude
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »