Stetigkeitsbeweis mit epsilon/delta

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julius976 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeitsbeweis mit epsilon/delta
Hallo,

ich habe ein kleines Problem mit dem Beweis der Stetigkeit für die Funktion:



Ich weiß im Moment nicht weiter.

Ich wähle von Anfang schon schon mal delta auf jedenfall kleiner 1 (min Funktion).

Allerdings kann ich nun aber nicht mehr x0-x durch 1 ersetzen weil der ausdruck dadurch größer und nicht kleiner wird oder?



Wie kann ich den Nenner geschickt abschätzen?

Das ist keine Hausaufgabe (meine Studium beginnt erst in einem Monat).

Vielen Dank schonmal!
Julius

Achja (edit): der Sinn des ganzen ist, dass ich ein Delta so angeben möchte, dass wenn der Abstand von x und x0 kleiner als delta ist, gilt, dass die Funktionswerte von x und x0 einen Abstand von höchstens Epsilon haben.
Also:
Stetigkeit an der Stelle x0:
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mir die Sache durch ein paar Einschränkungen etwas einfacher machen.

Die Funktion ist bei nicht definiert. Für gilt: . Ist also bei stetig, so auch bei . Daher wäre meine erste Einschränkung:



Dann würde ich als zweites für verlangen:



Das ist möglich, denn ist ja als positiv angenommen. Aus folgt dann:



Du hast am Anfang richtig und zweckmäßig umgeformt. Mit den gemachten Einschränkungen sieht das jetzt vorteilhafter aus:



Jetzt schätze gemäß im Zähler nach oben und im Nenner nach unten ab. Bei vorgegebenem kommst du dann mit



hin, wenn du bei den Pünktchen einen passenden, von und abhängigen Ausdruck angibst.

Idee hinter der ganzen Sache: Der Ausdruck bleibt für beschränkt.
julius976 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für :




Also ist fuer






Stimmt das so?

Und wie kann ich das LaTeX kleiner und mit dünnerer Schrift schreiben? smile

Danke,
Julius
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt. Aber ...

Für den Aufschrieb würde ich so beginnen:

Sei vorgegeben. Setze dann . Dann gilt für alle mit :

(jetzt die Abschätzung)
julius976 Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke!

Darf ich fragen wie du auf gekommen bist?
julius976 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab bei einer anderen Funktion nochmal den Beweis der Stetigkeit versucht. Bin hier aber etwas anders rangegangen. Kannst du kurz drüberschauen? smile

Stetigkeit an der Stelle a (a schreibt sich einfach leichter als x0) für die Funktion


Zu zeigen:



Sei nun beliebig und gewählt:



Weil der Abstand von x und a kleiner als 1:



Weil und ist der gesamte Nenner größer oder gleich 1. Somit gilt:



Sei nun so gewählt:



Dann gilt was oben zu zeigen war.

--

Diesmal mit weniger Vorbedingungen, liegt das daran, dass



sowieso schon durch 1 beschränkt ist?

MfG
Julius
 
 
julius976 Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll natürlich und nicht heißen.

(Sorry Edit nicht mehr möglich)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von julius976
Darf ich fragen wie du auf gekommen bist


Es wäre auch mit gegangen. Wichtig ist nur, daß das Intervall nur positive Zahlen enthält.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vor dem Weitermachen kontrolliere erst diese Rechnung, insbesondere das Relationszeichen und die Vorzeichen:

Zitat:
Original von julius976
julius976 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje Hammer

Vielen Dank erstmal.



Kann ich dann weiter so umformen: (?)

Sei delta echt kleiner 1:

Dann gilt, weil der Nenner immer noch größer oder gleich 1 ist:




Darf ich das? verwirrt

Danke,
Julius
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