Injektivität / Surjektivität bei Kompositionen |
| 04.09.2014, 10:08 | qed | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Injektivität / Surjektivität bei Kompositionen Da ich überlege im nächsten Semester ein Mathematikstudium zu beginnen habe ich gerade angefangen ein LA1-Skriptum und dazugehörige Übungsblätter aus dem Internet durchzuarbeiten, um herauszufinden ob ich mich grundsätzlich fürs Studium eigne oder doch zu dumm bin 
Zur folgenden Aufgabe gibts zwar eine Musterlösung, meine Lösung weicht aber ab und ich trau mir nicht zu festzustellen ob meine Lösung auch ok ist, vielleicht kann sichs jemand anschauen. Ich hoffe es ist halbwegs lesbar ohne LATEX. Ich habe LATEX zwar schon in der Vergangenheit verwendet, muss mich mit den mathematischen Zeichen aber noch auseinandersetzen. Aufgabenstellung: Seien f: X -> Y, und g: Y -> Z Abbildungen und g o f : X - > Z die Komposition von f und g. (1) Zeigen Sie: Ist g o f injektiv, so ist auch f injektiv. Muss auch g injektiv sein? (2) Zeigen Sie: Ist g o f surjektiv, so ist auch g surjektiv. Muss auch f surjektiv sein? Lösungsansatz (1) Angenommen f ist nicht injektiv dann gibt es zwei verschiedene Elemente a, b aus X mit f(a) = f(b). Weil g o f (a) = g(f(a)) = g(f(b)) = g o f (b) und a!=b ist g o f nicht injektiv. Widerspruch. Nein, g muss nicht injektiv sein. Voraussetzung ist, dass |Y| > |X|. Dann existiert nämlich ein y aus Y, für dass es kein x aus X mit f(x) = y gibt. Gibt es ein zweites y' aus Y mit g(y') = g(y) dann hat das keinen Einfluss auf die Injektivität von g o f. Beispiel: Die Mengen, X = {a, b}; Y = {c, d, e}; Z = {f, g}. f: X -> Y mit a -> c und b -> d g: Y -> Z mit c, e -> f und d -> g. (2) Angenommen g ist nicht surjektiv, dann existiert für mindestens ein z aus Z kein y aus Y mit g(y) = z. Dann gibt es auch kein x aus X mit g(f(x)) = z. Also ist g o f nicht surjektiv. Nein, f muss nicht surjektiv sein. Voraussetzung ist, dass g nicht injektiv ist. Beispiel: Die selben Mengen mit den selben Abbildungen wie oben! |
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| 05.09.2014, 11:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das passt doch alles 
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| 05.09.2014, 13:21 | qed | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super, danke dir! |
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