LA2 zz. Endomorphismus nicht normal

04.09.2014, 13:51	TheEnd	Auf diesen Beitrag antworten »
LA2 zz. Endomorphismus nicht normal Meine Frage: Hallo, wir haben diese Aufgabe in LA2 bekommen: Sei f: $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , f(v) = Av Endomorphismus mit $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . zz: f nicht normal bezüglich beliebigem Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Ich meine die Aufgabe ist falsch: Meine Ideen: Wenn ich die ONB zu <.,.> wähle, dann gilt ja $\begin{eqnarray} f^(v) = A^v \end{eqnarray}$ . Da aber A=A ist ist f=f, also f hermitesch, also insbesondere normal. Oder seh ich da was falsch?
04.09.2014, 13:59	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray*}$ ? Meinst du mit normal, das der Endomorphismus orthogonal ist?
04.09.2014, 14:08	TheEnd	Auf diesen Beitrag antworten »
f* soll die adjungierte Abbildung zu f sein (also mit <v, f(w)> = <f(v), w>) und ein normaler Endomorphismus heißt bei uns, dass f°f = f*°f ist (° soll Komposition sein).
04.09.2014, 14:25	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist wohl so gemeint: Es gibt ein Skalarprodukt bzgl. welchem die Abbildung nicht normal ist.
04.09.2014, 14:50	TheEnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber ich hätte ja oben sogar gezeigt, dass f bezüglich jedem Skalarprodukt normal ist, wenn ich einfach die ONB zu diesem wähle. Aber ich glaub ich weiß jetzt, wo der Fehler liegt: Kann es sein, dass ich für f und <.,.> immer dieselbe Basis wählen muss (da ich die von f nicht kenne, ginge mein Beweis nicht)? Ich kenne mich mit Darstellungsmatrizen leider nicht so gut aus.
04.09.2014, 15:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Bzgl. einem beliebigen Skalarprodukt kannst du die Adjungierte nicht mehr einfach berechnen, indem du die Darstellungsmatrix transponierst. Das geht nämlich nur, wenn die Basis, bzgl. der du die Abbildung darstellst, eine ONB ist.
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04.09.2014, 15:14	TheEnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke dir. Aber die Aufgabe (so wie sie oben steht) ist dann trotzdem noch falsch, wenn ich einfach das Standardskalarprodukt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ wähle, oder? Weil dann ist ja wieder f = f*.
04.09.2014, 15:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt: Die Aufgabenstellung ist wohl so zu interpretieren, wie ich es geschrieben habe. Und dann stimmt die Aussage.
04.09.2014, 15:22	TheEnd	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, dann weiß ich bescheid, danke!

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